539.313

плита
штамп
плоска деформація
четверта гіпотеза міцності
енергія
зона пластичності
plate
stamp
plane strain
strength fourth hypothesis
energy
zone of plasticity

Розглянуто пружну плоску деформацію плити у вигляді прямокутного паралелепіпеда під дією гладкого штампа, який контактує з паралелепіпедом по всій поверхні його верхньої основи. Нижня основа вільна від навантажень, а вертикальні переміщення точок бокової грані дорівнюють нулю. Отримано аналітичний вигляд для компонент тензора напружень і вектора переміщень точок паралелепіпеда. Під час дослідження використано напівобернений метод Сен-Венана. Межові умови, яких не вистачає при постановці задачі, беремо із припущення, що нормальні переміщення можуть бути представлені у вигляді рядів Фур’є за синусами. Обчислені коефіцієнти тригонометричних рядів для напружень та переміщень визначають точний розв’язок сформульованої задачі для довільної форми штампа. Досліджено вплив форми штампа на положення можливих зон пластичної деформації за допомогою функції потенціальної енергії, яка застосовується в енергетичній гіпотезі міцності Мізеса. Поставлено і розв’язано задачу про розподіл енергій формозміни по верхній межі плити у випадку, коли штамп має узагальнену параболічну форму. На основі чисельного аналізу зроблено прогноз про найнебезпечніші, в сенсі міцності конструкції, ділянки плити. Методом спряжених градієнтів встановлено місцезнаходження глобального максимуму функції потенціальної енергії формозміни за заданими граничними умовами при незмінному значенні коефіцієнта Пуассона й варіювання геометричних параметрів штампа.
An elastic deformation of the parallelepiped shaped plate subject to the smooth stamp, which contacts with the plate on its entire upper base, has been considered. The lower base is free of load. The vertical displacements of the points of the lateral face are equal to zero. We got the analytical form for the components of the stress tensor and vector displacements of the points of the parallelepiped.The Saint-Venant semi-inverse method has been used. The missing boundary conditions have been obtained considering that the normal displacements can be represented in the form of the sine Fourier’s series. The obtained coefficients of the trigonometric series for the stresses and displacements determine the exact solution of the problem for arbitrarily form of the stamp. The problem connected with the distortion energy distribution over volume in the case of the general parabolic shaped stamp has been stated and solved. The expression of the closed form for the distortion energy which is used in the fourth (energy) failure hypothesis of Mises was obtained. The prediction of the safest, in the sense of the stability, zones of the plate with the square horizontal section has been made with the help of the numerical analysis. The location of the global maximum of the distortion energy function under given boundary conditions, constant value of the Poisson coefficient and the geometric parameters of the stamp has been determined with the help of the conjugate gradient method. Numerical research of a parallelepiped, that takes area , was done. The stamp surface is described by the equation . In the numerical solution the first nine harmonics were kept. The Poisson coefficient is considered to equal 0.25. Since the function of potential energy is proportional to the coefficient and shear modulus , we considered them to equal 1. The graphs, presented in the article, testify that the stamp shape effects significantly the distribution of potential energy in the plate. With varying parameter global maximum changes its position, in addition, the appearance of local maximum at the top of the plate is observed.

1. Гузь, А.Н. О построении нелинейной теории малых деформаций в механике деформируемых тел [Текст] /А.Н. Гузь // Вестник ЧГПУ, серия: Механика предельного состояния. – 2010. – No8. – С.79–86.
2. Малыгин, Г.А. Анализ параметров субмикронной дислокационной структуры в металлах при больших пластических деформациях [Текст] / Г.А. Малыгин // Физика твердого тела. – 2004. – Т.46.– No11. – 274 с.
3. Плотников, В.П. Теоретическое исследование упруго-пластического состояния бетонных блоков при нагружении внутренним давлением воды [Текст] / В.П. Плотников // Горный информационно- аналитический бюллетень. – 2006. – No.9. – С.24–31.
4. Дильман, В.Л. Исследование математических моделей напряженного состояния неоднородного поперечного слоя в круглом стержне [Текст] /В.Л. Дильман // Bulletin of SUSU. – 2009. – С.56–72.
5. Величко, О.В. Плоска періодична контактна задача для багатошарової основи [Текст] / О.В. Величко // Вісник Дніпропетровського університету. Серія механіка. – Дніпропетровськ: видавництво ДНУ. – 2005. – No10(1). – Вип.9. – Т.1. – С.118–124.
6. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании [Текст] / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. – Москва: ГИФМЛ, 1960. – 490 с

1. Huz, A.N. O postroenii nelineinoi teorii malykh deformatsii v mekhanike deformiruemykh tel [Text] /A.N. Huz // Vestnik ChHPU, seriia: Mekhanika predelnoho sostoianiia. – 2010. – No8. – P.79–86.
2. Malyhin, H.A. Analiz parametrov submikronnoi dislokatsionnoi struktury v metallakh pri bolshikh plasticheskikh deformatsiiakh [Text] / H.A. Malyhin // Fizika tverdoho tela. – 2004. – V.46.– No11. – 274 p.
3. Plotnikov, V.P. Teoreticheskoe issledovanie upruho-plasticheskoho sostoianiia betonnykh blokov pri nahruzhenii vnutrennim davleniem vody [Text] / V.P. Plotnikov // Hornyi informatsionno- analiticheskii biulleten. – 2006. – No.9. – P.24–31.
4. Dilman, V.L. Issledovanie matematicheskikh modelei napriazhennoho sostoianiia neodnorodnoho poperechnoho sloia v kruhlom sterzhne [Text] /V.L. Dilman // Bulletin of SUSU. – 2009. – P.56–72.
5. Velychko, O.V. Ploska periodychna kontaktna zadacha dlia bahatosharovoi osnovy [Text] / O.V. Velychko // Visnyk Dnipropetrovskoho universytetu. Seriia mekhanika. – Dnipropetrovsk: vydavnytstvo DNU. – 2005. – No10(1). – Iss.9. – V.1. – P.118–124.
6. Vlasov, V.Z. Balki, plity i obolochki na upruhom osnovanii [Text] / V.Z. Vlasov, N.N. Leontev. – Moskva: HIFML, 1960. – 490 s