536.21

багатошарові плити
гармонійне рівняння
рекурентні співвідношення
послідовності піддатливості
ряд Фур'є
закон Фур'є
multilayer plates
harmonic equation
recurrence relations
compliance sequence
Fourier’s law

Запропоновано метод розрахунку двовимірних стаціонарних, періодичних по просторовій координаті, теплових полів у багатошарових плитах. На верхній і нижній межах плити температура описується парними періодичними функціями з однаковими періодами. На спільних межах шарів виконується умова неперервності температурного поля і рівність теплових потоків. Шукані температури в кожному із шарів записано у вигляді тригонометричних рядів по косинусах. Для забезпечення виконання умов на спільних межах шарів пропонується модифікація методу матриць податливості. Сформульовано алгоритм розв’язання задачі та показано, що спосіб дає точний розв’язок задачі для будь-якої скінченої кількості шарів. Наведено приклади результатів числових досліджень для різних граничних умов. Проведено порівняльний аналіз і зроблено висновки.
The method of two-dimensional thermal stationary fields’ calculation in multilayer plates is proposed. Thermal fields are considered periodical along spatial value. The temperature of the upper and lower limits is described by pair periodic functions with similar periods. Continuity condition of thermal field and thermal flow equality is realized within layer limits. Found temperatures of the layers are expressed in trigonometric series cosines. There are two free constants of differential equations solution about amplitude to every layer and harmonic. The method of compliance matrices is proposed for realizing conditions within layer limits. Two auxiliary sequences are introduced for every layer. These sequences are connected with temperature and thermal flow on the upper layer limit. They realize thermal field distribution within layer. The author proved that the elements of one of these sequences are expressed by the elements of another sequence in this layer, and appropriate coefficient of Fourier series of the lower plate limit. Recurrence relations are built for the coefficients of these dependences. These dependences allow calculating the coefficients in accordance with geometrical and physical properties of the plate’s layers, beginning with the lower one. Algorithm of task solution is stated. The author stresses that if the functions describing the upper and lower plate’s limits spread out into the complete Fourier series, then the proposed method provides accurate task solution for any complete quantity of layers. The main advantage of this method is that its labor coefficient rises slowly with layer growth. The results of numerical experiments show the influence of geometrical and physical parameters on the heat distribution in a two-layer plate. Just shows graphs constructed for different conditions at the external borders of the plate. Influence of heat conductivity factor changing in the middle layer of three-dimensional plate on heat distribution within plate is analyzed. Three-dimensional temperature graphs are built. The conclusion has been drawn.

1. Ухин, Д.В. Математическая модель расчета температуры многослойной конструкции дорожной одежды в условиях перемены температур [Текст] / Д.В. Ухин // Вестник ВолгАСУ. Сер: Стр-во и архит. 2010 – Вып. 17(36). – С.66–69.
2. Подстригач, Я.С. Теплоупругость тел неоднородной структуры [Текст] / Я.С. Подстригач, В.А. Ломакин, Ю.М. Коляно // М.: Наука, 1984. – 368 с.
3. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости [Текст] / А.Д. Коваленко. – К.: Наук. думка, 1970. – 307 с.
4. Кудинов, В.А. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций [Текст] / В.А. Кадинов, Э.М. Карташов, В.В. Калашников // М.: Высшая школа. – 2005. – 430 с.
5. Алтухов, Е.В. Метод однородных решений в трехмерных задачах термоупругости для транспортных пластин [Текст] / Е.В. Алтухов // Теорет. и прикл. мех. – 2003. – No37. – С.8–13.
6. Алтухов, Е.В. Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транспортных термоупругих пластинах [Текст] / Е.В. Алтухов, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. – 2007. – No4. – С.49–53.
7. Процюк, Б.В. Метод функцій Гріна в осесиметричних задачах пружності та термопружності кусково-однорідних ортотропних тіл [Текст] / Б.В. Процюк // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – 43, No1. – С.94–101.
8. Горынин, Г.Л. Метод жесткостных функций в задачах расчета многослойных стержней при температурных нагрузках [Текст] / Г.Л. Горынин, Ю.В. Немировский // Мат. методи та фіз..-мех. поля. 2012. – 55, No2. – С.144–155.
9. Neng-Hus Zhang. Thermoelastic stresses in multilayered beams [Text] / Neng-Hus Zhang // Thin Solid Films. – 2007. – 515 – P.8402–8406.
10. Величко, О.В. Плоска деформація пружної багатошарової плити під дією періодичної системи навантажень [Текст] / О.В. Величко // Вісник Дніпропетровського університету. Серія «Механіка». – 2004. – No6. – Вип. 8 т.1. – С.162–170.
11. Величко, І.Г. Просторова термопружна деформація багатошарової основи [Текст] / І.Г. Величко, І.Г. Ткаченко // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. – 2004. – Вип.8. – Т.1., No6. – С.154–161.
12. Величко, І.Г. Просторова та осесиметрична термопружна деформація багатошарової основи [Текст] / І.Г. Величко, І.Г. Ткаченко // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. – 2004. – Вип.8. – Т.2., No6/2. – С.36–43.
13. Ткаченко, І.Г. Двомірна мішана задача термопружності для багатошарової основи [Текст] / І.Г. Ткаченко // Прикладні пробл. механіки та математики. – 2005. – Вип.3. – С.70–78.

1. Ukhin, D.V. Matematicheskaia model rascheta temperatury mnohosloinoi konstruktsii dorozhnoi odezhdy v usloviiakh peremeny temperatur [Text] / D.V. Ukhin // Vestnik VolhASU. Ser: Str-vo i arkhit. 2010 – Iss. 17(36). – P.66–69.
2. Podstrihach, Ia.S. Teploupruhost tel neodnorodnoi struktury [Text] / Ia.S. Podstrihach, V.A. Lomakin, Iu.M. Koliano // M.: Nauka, 1984. – 368 p.
3. Kovalenko, A.D. Osnovy termoupruhosti [Text] / A.D. Kovalenko. – K.: Nauk. dumka, 1970. – 307 p.
4. Kudinov, V.A. Analiticheskie resheniia zadach teplomassoperenosa i termoupruhosti dlia mnohosloinykh konstruktsii [Text] / V.A. Kadinov, E.M. Kartashov, V.V. Kalashnikov // M.: Vysshaia shkola. – 2005. – 430 p.
5. Altukhov, E.V. Metod odnorodnykh reshenii v trekhmernykh zadachakh termoupruhosti dlia transportnykh plastin [Text] / E.V. Altukhov // Teoret. i prikl. mekh. – 2003. – No37. – P.8–13.
6. Altukhov, E.V. Odnorodnye resheniia trekhmernykh zadach o rasprostranenii harmonicheskikh voln v transportnykh termoupruhikh plastinakh [Text] / E.V. Altukhov, V.P. Shevchenko // Dop. NAN Ukraini. – 2007. – No4. – P.49–53.
7. Protsiuk, B.V. Metod funktsii Hrina v osesymetrychnykh zadachakh pruzhnosti ta termopruzhnosti kuskovo-odnoridnykh ortotropnykh til [Text] / B.V. Protsiuk // Mat. metody ta fiz.-mekh. polia. – 2000. – 43, No1. – P.94–101.
8. Horynin, H.L. Metod zhestkostnykh funktsii v zadachakh rascheta mnohosloinykh sterzhnei pri temperaturnykh nahruzkakh [Text] / H.L. Horynin, Iu.V. Nemirovskii // Mat. metodi ta fiz..-mekh. polia. 2012. – 55, No2. – P.144–155.
9. Neng-Hus Zhang. Thermoelastic stresses in multilayered beams [Text] / Neng-Hus Zhang // Thin Solid Films. – 2007. – 515 – P.8402–8406.
10. Velychko, O.V. Ploska deformatsiia pruzhnoi bahatosharovoi plyty pid diieiu periodychnoi systemy navantazhen [Text] / O.V. Velychko // Visnyk Dnipropetrovskoho universytetu. Seriia "Mekhanika". – 2004. – No6. – Iss. 8 V.1. – P.162–170.
11. Velychko, I.H. Prostorova termopruzhna deformatsiia bahatosharovoi osnovy [Text] / I.H. Velychko, I.H. Tkachenko // Visnyk Dnipropetrovskoho un-tu. Mekhanika. – 2004. – Iss.8. – V.1., No6. – P.154–161.
12. Velychko, I.H. Prostorova ta osesymetrychna termopruzhna deformatsiia bahatosharovoi osnovy [Text] / I.H. Velychko, I.H. Tkachenko // Visnyk Dnipropetrovskoho un-tu. Mekhanika. – 2004. – Iss.8. – V.2., No6/2. – P.36–43.
13. Tkachenko, I.H. Dvomirna mishana zadacha termopruzhnosti dlia bahatosharovoi osnovy [Text] / I.H. Tkachenko // Prykladni probl. mekhaniky ta matematyky. – 2005. – Iss.3. – P.70–78.