539.3

пластинки
тріщини
стрибки переміщень
напруження
переміщення
коефіцієнти інтенсивності напружень
сингулярні інтегральні рівняння
ядра Коші
plates
cracks
displacement jumps
stresses
displacements
stress intensity factor
singular integral equations
Cauchy kernels

Наведено алгоритм розрахунку напружень у пластинках із тріщинами, який базується на інтегральних рівняннях, записаних відносно стрибків переміщень їх берегів. Сингулярні інтегральні рівняння побудовано за допомогою методу Мусхелішвілі. Для розв’язування інтегральних рівнянь застосовано метод механічних квадратур, у якому використано квадратурні формули типу Гауса для регулярних інтегралів і інтегралів з ядрами Коші. В результаті задачу зведено до розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно стрибків переміщень берегів тріщин у вибраних вузлових точках. Коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) виражено через значення цих переміщень за допомогою інтерполяційної формули або поліному, побудованого методом найменших квадратів. Виконано розрахунки КІН для пластинок з прямолінійними і криволінійними тріщинами за дії в околі тріщин зосереджених сил. Показано, що отримані результати для випадку прямолінійних тріщин практично збігаються із аналітично знайденим розв’язком.
A calculation algorithm of stresses in the plates with cracks, based on integral equations written relative to the displacement jumps of their faces, is presented. Singular integral equations are constructed by the Muskhelishvili method. To solve the integral equations the method of mechanical quadratures is used, where the quadrature formulas of Gauss type are used for regular integrals and integrals with Cauchy kernels. As a result the problem is reduced to solution a system of linear algebraic equations with respect to the displacement jumps of the crack faces at the chosen nodes. The stress intensity factors (SIF) are expressed in terms of the values of these displacements by means of interpolation formula or polynomial constructed by the least quadrature method. The cases when this approach has advantages over the known algorithms in literature, based on integral equations constructed relative to the derivatives from the displacement jumps, are considered. In particular, the calculations of SIF are carried out for the plates with rectilinear and curvilinear cracks under the concentrated forces acting in the crack vicinity. It is shown that the obtained results for the case of rectilinear cracks coincide practically with solution found analytically. It is shown that the proposed approach can be used to study SIF in the cases when loads are described by discontinuous functions (the problems of such class arise when considering plastic deformation in the crack tip vicinity according to Dugdeila model or when considering the cohesive force). The problem arising when considering the plate with curvilinear crack extending at infinity is studied in detail. It is assumed that on the crack extension the cohesive forces arise. The normal component of cohesive forces is assumed to be given. The tangential of component of cohesive forces and the sizes of the region of their action are found from the condition of stress boundedness. In special cases obtained results of calculations are coordinated with the known in the literature solutions For curved crack the region action sizes of forces of cohesion and their tangential component depending on the applied efforts and the form of crack are investigated.

1. Саврук, М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами [Текст] / М. П. Саврук. – Киев: Наук. думка, 1982. – 324 с.
2. Саврук, М. П. Численный анализ в плоских задачах теории трещин [Текст] / М. П. Саврук, П. Н. Осив, И. В. Прокопчук. – К. : Наук. думка, 1989. – С. 248.
3. Траєкторії розвитку крайових тріщин у тілах за умов граничного змащування [Текст] / О. П. Дацишин, В. В. Панасюк, Р. Е. Пришляк, А. Б. Терлецький // Фіз. -хім. мех. матеріалів. – 2001. – No1. – С. 7–16.
4. Кит, Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами [Текст] / Г. С. Кит, М. Г. Кривцун. – Киев: Наук. думка, 1983. – 280 с.
5. Линьков, А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости [Текст] / А. М. Линьков. – СПб. : Наука, 1999. – C. 382.
6. Mason, J. C. Chebyshev Polynomials [Text] / J. C. Mason, D. C. Handscomb // Press Company Boca Raton, London, New-York, Washington. – 2003. – P. 335.
7. Божидарнік, В. В. Пружна та гранична рівновага анізотропних пластинок з отворами і тріщинами [Текст] / В. В. Божидарнік, О. В. Максимович. – Луцьк: ЛДТУ, 2003. – С. 226.
8. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений [Текст] // В 2-х томах; под ред. Ю. Мураками. – М. : Мир, 1990. – Т. 1. – С. 448.

1. Savruk, M. P. Dvumernye zadachi upruhosti dlia tel s treshchinami [Text] / M. P. Savruk. – Kiev: Nauk. dumka, 1982. – 324 p.
2. Savruk, M. P. Chislennyi analiz v ploskikh zadachakh teorii treshchin [Text] / M. P. Savruk, P. N. Osiv, I. V. Prokopchuk. – K. : Nauk. dumka, 1989. – P. 248.
3. Traiektorii rozvytku kraiovykh trishchyn u tilakh za umov hranychnoho zmashchuvannia [Text] / O. P. Datsyshyn, V. V. Panasiuk, R. E. Pryshliak, A. B. Terletskyi // Fiz. -khim. mekh. materialiv. – 2001. – No1. – P. 7–16.
4. Kit, H. S. Ploskie zadachi termoupruhosti dlia tel s treshchinami [Text] / H. S. Kit, M. H. Krivtsun. – Kiev: Nauk. dumka, 1983. – 280 p.
5. Linkov, A. M. Kompleksnyi metod hranichnykh intehralnykh uravnenii teorii upruhosti [Text] / A. M. Linkov. – SPb. : Nauka, 1999. – C. 382.
6. Mason, J. C. Chebyshev Polynomials [Text] / J. C. Mason, D. C. Handscomb // Press Company Boca Raton, London, New-York, Washington. – 2003. – P. 335.
7. Bozhydarnik, V. V. Pruzhna ta hranychna rivnovaha anizotropnykh plastynok z otvoramy i trishchynamy [Text] / V. V. Bozhydarnik, O. V. Maksymovych. – Lutsk: LDTU, 2003. – P. 226.
8. Spravochnik po koeffitsientam intensivnosti napriazhenii [Text] // V 2-kh tomakh; ed. Iu. Murakami. – M. : Mir, 1990. – V. 1. – P. 448.