539.3

обернена задача
метод низькочастотної томографії
коливання стержня
неоднорідність пружних властивостей
inverse problem
low frequency tomography method
rod vibrations
heterogeneity of elastic properties

Як приклад обмеженої оберненої крайової задачі теорії коливань наведено розв’язок задачі про визначення неоднорідності пружних властивостей стержня у випадку повздовжних коливань. Вважається, що густина матеріалу стержня стала по всьому об’єму. Геометричні розміри стержня задані, а неоднорідність, яку необхідно визначити локалізована в околі деякого поперечного перерізу стержня. При цьому вважаються відомими значення перших десяти-двадцяти власних частот повздовжних коливань стержня з неоднорідністю. Вдалий вибір власних функцій дозволив визначити коефіцієнти ряду Фур’є з парними та непарними номерами. Представленим методом вдалося визначити локалізовані дефекти неоднорідності пружних властивостей та місце розташування зони неоднорідностей. Показано, що результати експериментальних досліджень добре узгоджуються з розрахунками.
As an example of a limited boundary-value inverse problem of vibration theory, a solution of definition of rod elastic properties heterogeneity problem in case of longitudinal vibrations is given. It is considered that density of the rod material is constant. Geometrical dimensions of the rod are given, and heterogeneity to be defined is located in neighborhood of some cross-section of the rod. It is also considered that values of the first ten or twenty natural frequencies of longitudinal vibrations of the rod with heterogeneity are known. Proper choice of Eigen functions allowed defining the Fourier series coefficients with odd and even numbers. Given method allowed defining localized elastic properties heterogeneity defects and location of heterogeneity zones. It is shown that the results of experimental research are consistent with calculations.

1. 1. Крейн, М.Г. Об обратных задачах для неоднородной струны [Текст] / М.Г. Крейн // Доклады АН СССР. – 1952. – №5. – С. 364 – 369.
2. Крейн, М.Г. О некоторых случаях эффективного определения плотности неоднородной струны по ее спектральной функции [Текст] / М.Г. Крейн. // Доклады АН СССР. – 1953. – №4. – С. 617 – 620.
3. Ватульян, А.О. Об одном подходе при определении параметров дефекта в балке [Текст] / А.О. Ватульян, А.В. Осипов. // Дефектоскопия. – 2014. – №11. – С. 37 – 47.
4. Марченко, В.А. Прямая и обратная задачи многоканального рассеяния [Текст] / В.А. Марченко, Ю.И. Любарский // Функц. анализ и его прил. – 2007. – №2. – С. 58 – 77.
5. Никитенко, В.Н. Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии [Текст] / В.Н. Никитенко, М.Е. Юрченко // Акустичний вісник. – 2003. – №3. – С. 53 – 59.
6. Testardi, L.R. Acoustic dimensional resonance tomography: some examples in one-dimensional system [Text] / L.R. Testardi, S.J. Norton. // J. Appl. Phys. – 1986. – №1. – С. 55 – 58.
7. Testardi, L.R. Dimensional resonance tomography [Text] / L.R. Testardi, S.J. Norton. // J. Appl. Phys. – 1984. – №2. – С. 68 – 81.

1. Krein M.G. Ob obratnykh zadachakh dlia neodnorodnoi struny. Doklady AN SSSR, 1952, No 5, pp. 364 –369 [in Russian].
2. Krejn M.G. O nekotoryh sluchajah jeffektivnogo opredeleniya plotnosti neodnorodnoj struny po ee spektralnoj funkcii. Doklady AN SSSR, 1953, No 4, pp. 617 – 620 [in Russian].
3. Vatulian A.O., Osipov A.V. Ob odnom podkhode pri opredelenii parametrov defekta v balke. Defektoskopiia, 2014, No 11, pp. 37 – 47 [in Russian].
4. Marchenko V.A., Liubarskii Iu.I. Priamaia i obratnaia zadachi mnogokanalnogo rasseianiia. Funktc. analiz i ego pril, 2007, No 2, pp. 58 – 77 [in Russian].
5. Nikitenko V.N., Iurchenko M.E. Opredelenie neodnorodnosti uprugikh svoistv pezokeramicheskogo sterzhnia v meste raspolozheniia dielekticheski otdelennoi chasti elektrodnogo pokrytiia metodom nizkochastotnoi tomografii. Akustichnyi vіsnyk, 2003, No 3, pp. 53 – 59 [in Russian].
6. Testardi L.R., Norton S.J. Acoustic dimensional resonance tomography: some examples in one-dimensional system. J. Appl. Phys., 1986, No 1, pp. 55 – 58.
7. Testardi L.R., Norton S.J. Dimensional resonance tomography. J. Appl. Phys., 1984, No 2, pp. 68 – 81.