539.3

вільні коливання
шарувата полога оболонка
метод сплайн-колокації
теорія Міндлін
free vibration
laminated shallow shell
spline collocation method
Mindlin theory

У рамках теорії Міндліна досліджено вільні коливання перехресно-шарових двоопуклих пологих оболонок постійної товщини з прямокутним планом. Вважається, що шари виготовлені з ортотропного матеріалу і розміщені симетрично відносно серединної поверхні, а головні напрямки пружності кожного шару співпадають з координатними лініями. Головну увагу приділено шарнірно закріпленим по контуру еліптичним та параболічним пологим оболонкам зі згаданими властивостями і схемою розтушування шарів 0/90/0 і 0/90/90/0. Виведену двовимірну систему диференціальних рівнянь відносно переміщень і кутів повороту зведено до одновимірної задачі на власні значення методом сплайн-апроксимації розв’язків у одному з координатних напрямків із використанням базисних сплайнів третього порядку. Останню розв’язано стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Розв’язувальну систему рівнянь з відповідними граничними умовами представлено у векторно-матричній формі. У порівняльних таблицях наведено нижчі частоти вільних коливань зазначених оболонок із різними геометричними й механічними параметрами, отримані запропонованим методом. Останні зіставлено з результатами, представленими в роботах інших авторів. За результатами розв’язання задач даного класу можна дослідити залежності вільних коливань перехресно-шарових пологих прямокутних у плані оболонок від геометричних і механічних параметрів, а також виявити закономірності у розподілі частот. Отримані обезрозмірені частоти можуть бути використані в працях для оцінювання міцності й надійності елементів конструкцій. Слід зазначити, що інформація про динамічні характеристики шаруватих пологих оболонок є важливим етапом оцінювання міцності та надійності оболонкової системи в цілому, виготовленої з сучасних композитних матеріалів. Отже, розробення ефективного підходу на основі чисельних методів для розв’язання таких задач у сучасних програмних комплексах є вимогою сьогоденного технічного прогресу
The presented study deals with free vibration of cross-ply symmetrically laminated composite doubly-curved panels with constant thickness. Based on the first-order shear deformation theory (FSDT) the equations of motion are derived by applying the Hamilton’s principle. Spline function approximation technique, which includes B-splines of the third order, is used to reduce two-dimensional system of coupled differential equations in terms of displacement and rotational functions to one-dimensional. A generalized eigenvalue problem is obtained by applying a point collocation method with suitable boundary conditions. The vector-matrix form of the governing equations with different boundary conditions, from which values of a frequency parameter is obtained, is presented. These systems of ordinary differential equations are solved using the Godunov's discrete orthogonalization method. The effects of curvature ratio and thickness-to-length ratio on the fundamental natural frequencies of composite doubly-curved panels with all sides simply supported are investigated. In order to verify the accuracy of the employed method the frequency parameters are evaluated in comparison with the previous paper available in the literature. Good agreement with other available data demonstrates the capability and reliability of the spline collocation method and the adopted composite doubly-curved shell model used.

1. Kreja, I.A. A literature review on computational models for laminated composite and sandwich panels [Text] / I.A. Kreja // Central European Journal of Engineering, 2011. – T. 1, № 1. – P. 59 – 80.
2. Qatu, M.S. Recent research advances on the dynamic analysis of composite shells: 2000 – 2009 [Text] / M.S. Qatu, R.W. Sullivan, W. Wang // Composite Structures, 2010. – T. 93, № 1. – P. 14 – 31.
3. Sayyad, A.S. On the free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates: A review of recent literature with some numerical results [Text] / A.S. Sayyad, Yu.M. Ghugal // Composite Structures, 2015. – 129. – P. 177 – 201.
4. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций [Текст] / Я.М. Григоренко, Е.И. Беспалова, А.Б. Китайгородский, А.И. Шинкарь. – К. : Наук. думка, 1986. – 172 с.
5. Григоренко, Я.М. Розв’язання задач теорії оболонок на основі дискретно-континуальних методів: навчальний посібник [Текст] / Я.М. Григоренко, В.Д. Будак, О.Я. Григоренко. – Миколаїв : Іліон, 2010. – 294 с.
6. Григоренко, Я.М. Методы расчета оболочек. Т. 4. Теория оболочек переменной жесткости [Текст] / Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко. – Киев : Наук. думка, 1981. – 544 с.
7. Mallick, P.K. Fiber-reinforced composites materials manufacturing and design [Text] / P.K Mallick. – Dearborn, Michigan, CRC Press, 3rd ed., 2008. – 638 p.
8. Qatu, M.S. Vibration of laminated shells and plates [Text] / M.S Qatu. – San Diego, CA: Elsevier, 2004. – 385 p.
9. Reddy, J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis [Text] / J.N Reddy. –CRC Press, 2nd ed., 2004. – 854 p.
10. Годунов, С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / С.К. Годунов // Успехи математических наук, 1961. – Т. 16, № 3. – С. 171 – 174