539.3

лінеаризована теорія пружності
початкові (залишкові) напруження
перетворення Ханкеля
інтегральні рівняння типу Фредгольма
метод послідовних наближень
linear elasticity theory
initial (residual) stresses
Henkel transformations
theory of small initial deformations
Fredholm equations

У рамках лінеаризованної теорїї пружності представлено осесиметричну змішану задачу про тиск двох співвісних пружних циліндричних штампів на шар з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження представлені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу.
The article deals with the coaxial mixed type task of measuring pressure of prestressed two coaxial cylinder punches upon a layer with initial (residual) stresses within the framework of linear elasticity theory. We consider the cases in the absence of the friction forces. In general, the research was carried out for the theory of great initial (ultimate) deformations and different variants of the theory of small initial deformations with arbitrary structure of elastic potential. It is assumed that elastic potentials are two continuously differentiated functions of algebraic invariants of the Green tensor deformation (the initial states of the layer and of cylindrical punches remains uniform and equal). The research is carried out within the coordinates of the initial deformed state, which are interrelated with the Lagrangian coordinates (natural state). Besides, it is also assumed that the influence of the die causes small disorders of the main elastic deformed state. It is assumed that the elastic dies as well as the layer are made of different isotropous, transversely isotropic or composite materials and they are interacting on one of the dieses surfaces. The mode of deformation in elastic layer with initial (residual) stress will be defined with the help of harmonic functions as the Henkel integrals. We should note, although the Henkel-method does not provide exact solutions, but it lets us reduce the task to the Fredholm equations, which let us use the method of consecutive approximations. Consequently we got a components of potential vector and tenzor of deformations in the case of unequal roots of axis-symetrical type task. So, the received solutions are defined by lines with the help of very many constants. These constants are defined with two systems of regular linear algebraic equations. The research was carried out on the problem of the influence of initial stresses on the law of distribution of contact disorders in the elastic layer with initial (residual) stresses.

1. Гузь, А. Н. Контактные задачи для упругих тел с начальными напряжениями (жесткие штампы) [Текст] / А. Н. Гузь, С. Ю. Бабич, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. – 1989. – No8. – С. 3–18.
2. Гузь, А. Н. Контактные задачи для упругих тел с начальными напряжениями (упругие штампы) (обзор) [Текст] / А. Н. Гузь, С. Ю. Бабич, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. – 1991. – Т. 27, No9. – С. 3–28.
3. Guz, A. N. Contact problems for elastic bodies with initial stresses. Focus on Ukrainian research / A. N. Guz, S. Y. Babich, V. B. Rudnitsky // Apple Mech. Rev. Vol. 51, nos May 1998. – Р. 343–371.
4. Гузь, А. Н. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями [Текст] / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий. – Хмельницький, изд. ПП Мельник. – 2006. – 710 с.
5. Рудницкий, Т. В. Контактное взаимодействие конечного цилиндрического штампа и полупространства с начальными (остаточными) напряжениями [Текст] / Т. В. Рудницкий // Сборник международной конференции «Современные проблемы механики», посвященный 100-летию Л. А. Галина. Тезисы докладов. – Москва. – 2012. – С. 90.
6. Бабич, С. Ю. К вопросу контактной задачи для предварительно напряженного слоя [Текст] / С. Ю. Бабич, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. – 1987. – 23, No5. – С. 110–112.
7. Гузь, А. Н. Контактная задача о давлении упругого штампа на упругое полупространство с начальными напряжениями [Текст] / А. Н. Гузь, В. Б. Рудницкий // Прикл. механика. – 1984. – Т. 20, No8. – С. 3–11.
8. Ярецька, Н. О. Змішана статична контактна задача для пружного шару і пружного циліндричного штампа з початковими (залишковими) напруженнями [Текст] / Н. О. Ярецька // Вісник Тернопільського національного технічного університету. – 2013. – No2(70). – С. 63–73.
9. Ярецька, Н. О. Про контактну задачу для циліндричного штампа і шару з початковими (залишковими) напруженнями [Текст] / Н. О. Ярецька // Вісник Тернопільського національного технічного університету. –2013. – No 4 (72). – С. 68–77.
10. Гузь, А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями [Текст] / А. Н. Гузь. – Киев: Наук. думка, 1983. – 286 с.

1. Huz, A. N. Kontaktnye zadachi dlia upruhikh tel s nachalnymi napriazheniiami (zhestkie shtampy) [Text] / A. N. Huz, S. Iu. Babich, V. B. Rudnitskii // Prikl. mekhanika. – 1989. – No8. – P. 3–18.
2. Huz, A. N. Kontaktnye zadachi dlia upruhikh tel s nachalnymi napriazheniiami (upruhie shtampy) (obzor) [Text] / A. N. Huz, S. Iu. Babich, V. B. Rudnitskii // Prikl. mekhanika. – 1991. – V. 27, No9. – P. 3–28.
3. Guz, A. N. Contact problems for elastic bodies with initial stresses. Focus on Ukrainian research / A. N. Guz, S. Y. Babich, V. B. Rudnitsky // Apple Mech. Rev. Vol. 51, nos May 1998. – R. 343–371.
4. Huz, A. N. Osnovy teorii kontaktnoho vzaimodeistviia upruhikh tel s nachalnymi (ostatochnymi) napriazheniiami [Text] / A. N. Huz, V. B. Rudnitskii. – Khmelnitskii, izd. PP Melnik. – 2006. – 710 p.
5. Rudnitskii, T. V. Kontaktnoe vzaimodeistvie konechnoho tsilindricheskoho shtampa i poluprostranstva s nachalnymi (ostatochnymi) napriazheniiami [Text] / T. V. Rudnitskii // Sbornik mezhdunarodnoi konferentsii "Sovremennye problemy mekhaniki", posviashchennyi 100-letiiu L. A. Halina. Tezisy dokladov. – Moskva. – 2012. – P. 90.
6. Babich, S. Iu. K voprosu kontaktnoi zadachi dlia predvaritelno napriazhennoho sloia [Text] / S. Iu. Babich, V. B. Rudnitskii // Prikl. mekhanika. – 1987. – 23, No5. – P. 110–112.
7. Huz, A. N. Kontaktnaia zadacha o davlenii upruhoho shtampa na upruhoe poluprostranstvo s nachalnymi napriazheniiami [Text] / A. N. Huz, V. B. Rudnitskii // Prikl. mekhanika. – 1984. – V. 20, No8. – P. 3–11.
8. Yaretska, N. O. Zmishana statychna kontaktna zadacha dlia pruzhnoho sharu i pruzhnoho tsylindrychnoho shtampa z pochatkovymy (zalyshkovymy) napruzhenniamy [Text] / N. O. Yaretska // Visnyk Ternopilskoho natsionalnoho tekhnichnoho universytetu. – 2013. – No2(70). – P. 63–73.
9. Yaretska, N. O. Pro kontaktnu zadachu dlia tsylindrychnoho shtampa i sharu z pochatkovymy (zalyshkovymy) napruzhenniamy [Text] / N. O. Yaretska // Visnyk Ternopilskoho natsionalnoho tekhnichnoho universytetu. –2013. – No 4 (72). – P. 68–77.
10. Huz, A. N. Mekhanika khrupkoho razrusheniia materialov s nachalnymi napriazheniiami [Text] / A. N. Huz. – Kiev: Nauk. dumka, 1983. – 286 p.