539.3

тертя
міжфазна тріщина
розсіяння енергії
коефіцієнт інтенсивності напружень
антиплоска деформація
поздовжній зсув
біматеріал
функції стрибка
friction
interface crack
energy dissipation
stress intensity factor
anti-plane deformation
longitudinal shear
bi-material
jump functions

Побудовано точний розв’язок антиплоскої задачі для біматеріалу з міжфазною тріщиною, навантаженого неоднорідним нормальним стиском та циклічним навантаженням у поздовжньому напрямку. Методом функцій стрибка задача зведена до системи сингулярних інтегральних рівнянь для стрибків зміщень і напружень у зонах проковзування з тертям. Проаналізовано вплив параметрів навантажування і тертя на розміри цих зон та дисипацію енергії.
The present paper investigates the anti-plane problem for a semi-homogeneous bi-material with the closed interface crack considering sliding friction. Solid is exposed to the combined cyclic loading in the longitudinal direction and arbitrary normal load required to prevent loss of contact between the sliding surfaces of the cracks. It is assumed that the load on each step of loading increases from zero to its maximum monotonically and slowly enough not to consider the effect of inertia. Using jump function method the problem is reduced to the solution of singular integral equations with a Cauchy-type kernel for the jumps of displacements and stresses in areas with sliding friction. This solution allows us to obtain explicit expressions for displacements, stress intensity factors and energy dissipation. Analyzing of the elasticity problem involving friction under the variable (cyclic) loading requires consideration of the history of loading. No incremental formulation is necessary for solving of this problem on each local step because of quasi-statically way of the step loading. To take account of cyclical loading multistep method of solution is proposed. The basis of this technique is the idea of consideration at every step of loading previous step stresses and displacements as the residual. Correctness of the obtained solution is justified. Evolution of the slip zone in matrix is considered at different stages of loading. Critical load values for determining the onset of slip are investigated. Available size of slip zone with an increase in loading is determined from the condition of equality to zero the stress intensity factor. Upon reaching the second critical value of the load, when the slip zone size matches the size of the crack, there are singular stresses in the crack threshold and non-zero values of stress intensity factors. We numerically analyze the effect of friction and loading parameters on the size of slip zone and stress intensity factors. It is discovered that the slip zone appears and grows fastest when it pressing normal stresses are minimal. Growth rate of slip zone also promotes increasing the distance of application points of concentrated power factors from her. The growth coefficient of friction significantly reduces the intensity of the stresses in the vicinity of the ends of the crack. Energy dissipation for all examined cases of loading was calculated.

1. Горячева, И.Г. Механика фрикционного взаимодействия [Текст] / И.Г. Горячева. – М.: Наука, 2001. – 478 с.
2. Дундурс, Дж. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины [Текст] / Дж. Дундурс, М. Комниноу // Механика композитных материалов. – 1979. – No3. – С.387–396.
3. Сулим, Г.Т. Умови контактної взаємодії (огляд) [Текст] / Г.Т. Сулим, Й.З. Піскозуб // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2004. – No3. – С.110–125.
4. Hills, D.A. Mechanics of elastic contact [Text] / D.A. Hills, D. Nowell, A. Sackfield. – Butterworth- Heinemann, Oxford. – 1993. – P.238.
5. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия: пер. с англ. [Текст] / К. Джонсон. – М.: Мир, 1989 – 510 с.
6. Черепанов, Г.П. О развитии трещин в сжатых телах [Текст] / Г.П. Черепанов // Прикладная математика и механика. – 1966. – No1.– С.82–93.
7. Comninou, M. Frictional slip between a layer and a substrate caused by a normal load [Text] / M. Comninou, D. Schmueser, J. Dundurs // Int. J. Engn. Sci. – 1980. – 18(1). – P.131–137.
8. Herrmann, K.P. On interface crack models with contact zones situated in an anisotropic bimaterial [Text] / K.P. Herrmann, V.V. Loboda // Archive of App. Mech. – 1999. – 69. – P.317–335.
9. Мартиняк, Р.М. Пружна взаємодія двох півплощин за локального зсуву границь на ділянці міжконтактного просвіту [Текст] / Р.М. Мартиняк, Н.І. Маланчук, Б.Є. Монастирський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2005. – No3. – С.101–109.
10. Мартыняк, Р.М. Фрикционный контакт двух упругих полуплоскостей с локальными поверхностными выемками [Текст] / Р.М. Мартыняк, А.А. Криштафович // Трение и износ. – 2000. – No4. – С.350–360.
11. Архипенко, К.М. Міжфазна балка при різних типах контактної взаємодії з неоднорідною анізотропною площиною [Текст] / К.М. Архипенко, О.Ф. Кривий // Машинознавство. – 2008. – No3(129). – С.16–21.
12. Острык, В.И. Метод Винера-Хопфа в контактных задачах теории упругости [Текст] / В.И. Острык, А.Ф. Улитко. – К.: Наук. думка, 2006. – 328 с.
13. Кундрат, М.М. Зони передруйнування в композиції з пружним високомодульним включенням при симетричному та антисиметричному навантаженнях [Текст] / М.М. Кундрат, Г.Т. Сулим // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів, 2003. – С.322–324.
14. Семенов, Б.Н. Контакт с трением двух упругих полуплоскостей с жестким включением на границе контакта [Текст] / Б.Н. Семенов // Тез. докл. 4 Всес. конф. «Смеш. задачи мех. деформируем. тела». – Одесса, 1989. – С.85.
15. Sekine, H. Mechanics of debonding along the surfaces of dispersed flat inclusions in composite materials (A model of debonding along the surface of a flat inclusion) [Text] / H. Sekine // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. – 1982. – 48A. – No11(435). – P.1415–1420.
16. Weertman, J. Double slip plane crack model [Text] / J. Weertman, I.-H. Lin, R. Thomson // Acta met. – 1983. – 31. – No4. – P.473–482.
17. Божидарник, В.В. Елементи теорії пластичності та міцності [Текст] / В.В. Божидарник, Г.Т. Сулим. – Львів: Світ, 1999. – 945 с.
18. Пастернак, Я.М. Модели тонкого включения в условиях его идеального и неидеального контактного взаимодействия с окружающим материалом [Текст] / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим, Л.Г. Пискозуб // Труды VI Междунар. симп. по трибофатике МСТФ 2010. – Минск; БГУ, 2010. – С.399–404.
19. Сулим, Г.Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими включеннями: монографія [Текст] / Г.Т. Сулим. – Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ. – 2007. – 716 с.
20. Piskozub, J.Z. Thermoelastic equilibrium of piecewise homogeneous solids with thin inclusions // Journal of Engineering Mathematics [Text] / J.Z. Piskozub, G.T. Sulim. – Special Issue Thermomechanics, 2008. – 61.– P.315–337.

1. Horiacheva, I.H. Mekhanika friktsionnoho vzaimodeistviia [Text] / I.H. Horiacheva. – M.: Nauka, 2001. – 478 p.
2. Dundurs, Dzh. Obzor i perspektiva issledovaniia mezhfaznoi treshchiny [Text] / Dzh. Dundurs, M. Komninou // Mekhanika kompozitnykh materialov. – 1979. – No3. – P.387–396.
3. Sulym, H.T. Umovy kontaktnoi vzaiemodii (ohliad) [Text] / H.T. Sulym, Y.Z. Piskozub // Mat. metody i fiz.-mekh. polia. – 2004. – No3. – P.110–125.
4. Hills, D.A. Mechanics of elastic contact [Text] / D.A. Hills, D. Nowell, A. Sackfield. – Butterworth- Heinemann, Oxford. – 1993. – P.238.
5. Dzhonson, K. Mekhanika kontaktnoho vzaimodeistviia: transl. from English [Text] / K. Dzhonson. – M.: Mir, 1989 – 510 p.
6. Cherepanov, H.P. O razvitii treshchin v szhatykh telakh [Text] / H.P. Cherepanov // Prikladnaia matematika i mekhanika. – 1966. – No1.– P.82–93.
7. Comninou, M. Frictional slip between a layer and a substrate caused by a normal load [Text] / M. Comninou, D. Schmueser, J. Dundurs // Int. J. Engn. Sci. – 1980. – 18(1). – P.131–137.
8. Herrmann, K.P. On interface crack models with contact zones situated in an anisotropic bimaterial [Text] / K.P. Herrmann, V.V. Loboda // Archive of App. Mech. – 1999. – 69. – P.317–335.
9. Martyniak, R.M. Pruzhna vzaiemodiia dvokh pivploshchyn za lokalnoho zsuvu hranyts na diliantsi mizhkontaktnoho prosvitu [Text] / R.M. Martyniak, N.I. Malanchuk, B.Ye. Monastyrskyi // Mat. metody ta fiz.-mekh. polia. – 2005. – No3. – P.101–109.
10. Martyniak, R.M. Friktsionnyi kontakt dvukh upruhikh poluploskostei s lokalnymi poverkhnostnymi vyemkami [Text] / R.M. Martyniak, A.A. Krishtafovich // Trenie i iznos. – 2000. – No4. – P.350–360.
11. Arkhypenko, K.M. Mizhfazna balka pry riznykh typakh kontaktnoi vzaiemodii z neodnoridnoiu anizotropnoiu ploshchynoiu [Text] / K.M. Arkhypenko, O.F. Kryvyi // Mashynoznavstvo. – 2008. – No3(129). – P.16–21.
12. Ostryk, V.I. Metod Vinera-Khopfa v kontaktnykh zadachakh teorii upruhosti [Text] / V.I. Ostryk, A.F. Ulitko. – K.: Nauk. dumka, 2006. – 328 p.
13. Kundrat, M.M. Zony peredruinuvannia v kompozytsii z pruzhnym vysokomodulnym vkliuchenniam pry symetrychnomu ta antysymetrychnomu navantazhenniakh [Text] / M.M. Kundrat, H.T. Sulym // Matematychni problemy mekhaniky neodnoridnykh struktur. – Lviv, 2003. – P.322–324.
14. Semenov, B.N. Kontakt s treniem dvukh upruhikh poluploskostei s zhestkim vkliucheniem na hranitse kontakta [Text] / B.N. Semenov // Tez. dokl. 4 Vses. konf. "Smesh. zadachi mekh. deformiruem. tela". – Odessa, 1989. – P.85.
15. Sekine, H. Mechanics of debonding along the surfaces of dispersed flat inclusions in composite materials (A model of debonding along the surface of a flat inclusion) [Text] / H. Sekine // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. – 1982. – 48A. – No11(435). – P.1415–1420.
16. Weertman, J. Double slip plane crack model [Text] / J. Weertman, I.-H. Lin, R. Thomson // Acta met. – 1983. – 31. – No4. – P.473–482.
17. Bozhydarnyk, V.V. Elementy teorii plastychnosti ta mitsnosti [Text] / V.V. Bozhydarnyk, H.T. Sulym. – Lviv: Svit, 1999. – 945 p.
18. Pasternak, Ia.M. Modeli tonkoho vkliucheniia v usloviiakh eho idealnoho i neidealnoho kontaktnoho vzaimodeistviia s okruzhaiushchim materialom [Text] / Ia.M. Pasternak, H.T. Sulim, L.H. Piskozub // Trudy VI Mezhdunar. simp. po tribofatike MSTF 2010. – Minsk; BHU, 2010. – P.399–404.
19. Sulym, H.T. Osnovy matematychnoi teorii termopruzhnoi rivnovahy deformivnykh tverdykh til z tonkymy vkliuchenniamy: monograph [Text] / H.T. Sulym. – Lviv: Doslidno-vydavnychyi tsentr NTSh. – 2007. – 716 p.
20. Piskozub, J.Z. Thermoelastic equilibrium of piecewise homogeneous solids with thin inclusions // Journal of Engineering Mathematics [Text] / J.Z. Piskozub, G.T. Sulim. – Special Issue Thermomechanics, 2008. – 61.– P.315–337.