539.3

напружений стан
ізотропна пластинка
контактні зусилля
пружний диск
гладкий контакт
stress state
isotropic plate
contact efforts
elastic disk
smooth contact

Розглянуто контактну задачу для нескінченної ізотропної пластинки з впаяним круглим пружним диском за наявності на лінії розмежування матеріалів зон спаю, гладкого контакту і відставання. Математичну модель задачі побудовано у вигляді системи сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами. Розрахунок напруженого стану на межі поділу матеріалів проведено числово-аналітичним методом механічних квадратур і колокації.
The solution of a contact task for infinite isotropic plate with a circumferential cut and elastic isotropic disk is proposed. The plate and the disk have to be soldered between themselves on the one part of the general contour, and a through symmetric section has to be on the other parts of the contour. Under the concentrated power loading applied in the center of the disk, the edges of a section of a lamellar design are in contact partially or along the whole length. Friction forces in the contact zone of the plate and the disk – are absent. The solution of such task assumes a tension component definition on a limit of the materials section and sets the size and position of the contact zone. Boundary conditions of the problem on a site of smooth contact are chosen as normal shifts equality of planimetric points of a plate and a disk, and on an interface site they are as shifts equality. Dependencies between the components of the displacement vector and contour points of the plate and the elastic disk and contact stresses are written down in the form of integral relations with logarithmic kernels. By the substitution of these expressions in boundary condition of the problem, the system of four singular integral equations for definition of functions, through which contact forces on the contact area and the juncture have been constructed. Beside the obtained system of equations the condition of force equilibrium state of a disk has to be satisfied. We considered cases of partial problem for a homogeneous plate with a cut along the arc of a circle and absolutely hard disk. An approximate solution of a problem is realized by mechanical quadratures and collocations method. The size and the position of the contact zone are defined by a dichotomy method. The influence of relative rigidity of the disk and the size of a soldering zone on distribution of planimetric tension has been investigated for a piecewise homogeneus isotropic plate with a circumferential cutting, the edges of which are in contact partially or along all length because of the force action of loading. The results of numeric computation with full and incomplete contact of the section's edges are illustrated on schemes and table.

1. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1966. – 708 с.
2. Гриліцький, Д.В. Напруження в пластинках з коловою лінією розмежування граничних умов [Текст] / Д.В. Гриліцький, Р.М. Луцишин. – Львів: Вид-во «Вища школа» при ЛДУ, 1975. – 116 с.
3. Гриліцький, Д.В. Основні граничні задачі теорії пружності для безмежної ізотропної пластинки з впаяною круглою ізотропною шайбою з розрізами на лінії спаю [Текст] / Д.В. Гриліцький // Питання механіки і математики. ЛДУ. – 1962. – Вип. 9. – С.79–86.
4. Божидарнік, В. Двосторонній згин пластинки з двома симетричними наскрізними тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегів [Текст] / В. Божидарнік, В. Опанасович, П. Герасимчук // Вісник Тернопільського державного технічного університету. – 2007. – Т.12, No2. – С.20–30.
5. Сулим, Г.Т. Двосторонній згин пластинки з круговим отвором і шайбою з урахуванням контакту берегів шайби [Текст] / Г.Т. Сулим, В.К. Опанасович, П.В. Герасимчук // Наукові нотатки: міжвузівський збірник (за напрямом „Інженерна механіка”). –2007. – Вип. 20 (2). – С.200–204.
6. Сяський, А.О. Згин кусково-однорідної пластинки з коловим розрізом, береги якого контактують [Текст] / А.О. Сяський, К.П. Музичук // Вісник Національного університету водного господарства та природокористування. Серія технічні науки. – 2012. – Вип. 2 (58). – С.91–98.
7. Шинкарчук, Н.В. Односторонній контакт ізотропної пластинки з коловим отвором і пружного диска [Текст] / Н.В. Шинкарчук // Наукові нотатки: міжвузівський збірник (за напрямом «Машинобудування та металообробка», «Інженерна механіка», «Металургія та матеріалознавство»). – 2014. – Вип. 44. – С.296–301.
8. Сяський, А.О. Мішана контактна задача для пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска [Текст] / А.О. Сяський, Н.В. Шинкарчук // Волинський математичний вісник. Серія «Прикладна математика». – Випуск 7 (16). – 2010. – С.199–209.
9. Сяський, В.А. Вплив тертя на розподіл напружень при контакті гладких циліндричних тіл і штампів з кутовими точками [Текст] / В.А. Сяський // Волинський математичний вісник. – 1999. – Вип. 6. – С.127–134.

1. Muskhelishvili, N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii upruhosti [Text] / N.I. Muskhelishvili. – M.: Nauka, 1966. – 708 p.
2. Hrylitskyi, D.V. Napruzhennia v plastynkakh z kolovoiu liniieiu rozmezhuvannia hranychnykh umov [Text] / D.V. Hrylitskyi, R.M. Lutsyshyn. – Lviv: Vyd-vo "Vyshcha shkola" pry LDU, 1975. – 116 p.
3. Hrylitskyi, D.V. Osnovni hranychni zadachi teorii pruzhnosti dlia bezmezhnoi izotropnoi plastynky z vpaianoiu kruhloiu izotropnoiu shaiboiu z rozrizamy na linii spaiu [Text] / D.V. Hrylitskyi // Pytannia mekhaniky i matematyky. LDU. – 1962. – Iss. 9. – P.79–86.
4. Bozhydarnik, V. Dvostoronnii zghyn plastynky z dvoma symetrychnymy naskriznymy trishchynamy po duzi kola z urakhuvanniam kontaktu Yikh berehiv [Text] / V. Bozhydarnik, V. Opanasovych, P. Herasymchuk // Visnyk Ternopilskoho derzhavnoho tekhnichnoho universytetu. – 2007. – V.12, No2. – P.20–30.
5. Sulym, H.T. Dvostoronnii zghyn plastynky z kruhovym otvorom i shaiboiu z urakhuvanniam kontaktu berehiv shaiby [Text] / H.T. Sulym, V.K. Opanasovych, P.V. Herasymchuk // Naukovi notatky: mizhvuzivskyi zbirnyk (za napriamom "Inzhenerna mekhanika"). –2007. – Iss. 20 (2). – P.200–204.
6. Siaskyi, A.O. Zghyn kuskovo-odnoridnoi plastynky z kolovym rozrizom, berehy yakoho kontaktuiut [Text] / A.O. Siaskyi, K.P. Muzychuk // Visnyk Natsionalnoho universytetu vodnoho hospodarstva ta pryrodokorystuvannia. Seriia tekhnichni nauky. – 2012. – Iss. 2 (58). – P.91–98.
7. Shynkarchuk, N.V. Odnostoronnii kontakt izotropnoi plastynky z kolovym otvorom i pruzhnoho dyska [Text] / N.V. Shynkarchuk // Naukovi notatky: mizhvuzivskyi zbirnyk (za napriamom "Mashynobuduvannia ta metaloobrobka", "Inzhenerna mekhanika", "Metalurhiia ta materialoznavstvo"). – 2014. – Iss. 44. – P.296–301.
8. Siaskyi, A.O. Mishana kontaktna zadacha dlia plastynky z kryvoliniinym otvorom i zhorstkoho dyska [Text] / A.O. Siaskyi, N.V. Shynkarchuk // Volynskyi matematychnyi visnyk. Seriia "Prykladna matematyka". – Issue 7 (16). – 2010. – P.199–209.
9. Siaskyi, V.A. Vplyv tertia na rozpodil napruzhen pry kontakti hladkykh tsylindrychnykh til i shtampiv z kutovymy tochkamy [Text] / V.A. Siaskyi // Volynskyi matematychnyi visnyk. – 1999. – Iss. 6. – P.127–134.