539.3

 

квадратична форма
многокутна пластина
основний напружений стан
quadratic form
polygonal plate
basic stress state

Запропоновано новий аналітико-числовий метод (скінченних тіл) розв’язку плоскої задачі теорії пружності для неопуклої багатокутної пластини у вигляді з’єднаних між собою двох прямо¬кутних пластин. Уявний поділ багатокутної пластини на прямокутні пластини дозволив явно врахувати основний напружений стан, який відповідає головним векторам сил і моментів, що діють на окремих сторонах пластин. Використано точні розв’язки бігармонічного рівняння і функцію напружень подано у вигляді ряду за неортогональними функціями. Задоволення крайових умов і умов ідеального спряження отриманих прямокутних пластин зведено до пошуку мінімуму узагальненої квадратичної форми. Теоретично встановлено числовий критерій збіжності методу. Показано, що точність задоволення крайових умов і умов ідеального спряження оцінюється одним числом – мінімумом квадратичної форми.
The paper is devoted to presentation of the stress-strain state (SSS) of structurally inhomogeneous bearing structures in the form of interconnected rectangular plates. These bearing elements are widely used in construction and engineering designs. Determination of the stress state is an important scientific and practical problem. To find the SSS rectangular plates various analytical and numerical approaches have been developed. However, publications that describe a technique for solving boundary value problems for nonconvex polygon are not available. Convergence of the solution boundary-value problem for nonconvex polygonal plates by the method of Fourier series have been investigated. By the numerical calculations it was found that the computational process satisfy all boundary conditions with increasing members of the sum of Fourier series loses stability. However, the method of Fourier series gives a stable solution of the boundary value problem for a rectangular plate. The polygonal plate division on simple rectangular parts is offered. New analytical-numerical method (finite bodies) of solution of the plane problem for two interconnected rectangular plates is developed. Polygonal plate is divided rectangular plates conventionally. On the lines of division perfect contact conditions are taken into account, which provide equality of stresses, strains and displacements. Stressed state of each plate is presented as the sum of two components: the basic stress state, self-equilibrated stress state (as a series). General expression of the stress function of the basic stress state, which corresponds to the principal vector of forces and moments acting on separate sides of the plate has been built. Exact solutions of biharmonic equation are used and function self-equilibrated stress state is presented in a series of nonorthogonal functions. Components of displacement vector and the stress tensor are presented as series according to the constructed nonorthogonal functions. Determination of the coefficients row is based on the proposed method of satisfying all conditions of ideal contact and boundary conditions. For the first time the numerical convergence criterion method was established theoretically. It is shown that the accuracy of satisfaction of the boundary conditions and the conditions of perfect contact is measured by a single number – the minimum quadratic form.

1. Гринченко, В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности [Текст] / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко // Равновесие упругих тел канонической формы. – К.: Наук. думка, 1985. – Т.3. – 280 с.
2. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упру гости [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. – Москва: Наука, 1966. – 707 с.
3. Тимошенко, С.П. Теория упругости [Текст] / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. – М.: Наука, 1975. – 576 с.
4. Шалдырван, В.А. Некоторые результаты и проблемы трехмерной теории пластин (обзор) [Текст] / В.А. Шалдырван // Прикл. механика. – 2007. – 43, No2. – С.45–69.
5. Вігак, В.М. Дослідження плоского напруженого стану в прямокутній області [Текст] / В.М. Вігак, Ю.В. Токовий // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2002. – 38, No2. – С.61–66.
6. Meleshko, V.V. Infinite systems for a biharmonic problem in a rectangle [Text] / V.V. Meleshko, A.M. Gomilko // Proc. Roy. Soc. London, Physical and Engineering Sciences. – 1997. – 453, No 1965. – P.2139– 2160.
7. Ревенко, В.П. Дослідження розподілу напружень у прямокутній- пластині під дією розподілених навантажень [Текст] / В.П. Ревенко // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2007. – 43, No3. – С.12–18.
8. Ревенко, В.П. О численно-аналитическом методе расчета напряженного состояния упругой прямоугольной пластины [Текст] / В.П. Ревенко // Прикл. механика. – 2008. – 44, No1. – С.90–98.
9. Meleshko, V.V. Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem [Text] / V.V. Meleshko // Appl. Mech. Rev. – 2003. – 56, No1. – P.33–85.
10. Ревенко, В.П. Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками [Текст] / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. – 2009. – No2. – С.59–66.
11. Ревенко, В.П. Подання напружено-деформованого стану циліндричної оболонки з немалим прямокутним отвором [Текст] / В.П. Ревенко // Машинознавство. – 2013. – No5–6. – С.21–25.
12. Ревенко, В.П. Визначення напружено-деформованого стану навантаженого на торцях двошарового циліндра [Текст] / В.П. Ревенко // Міжвузівський збірник «Наукові нотатки». – 2014. – Вип. 44. – С.233– 240.

1. Hrinchenko, V.T. Prostranstvennye zadachi teorii upruhosti i plastichnosti [Text] / V.T. Hrinchenko, A.F. Ulitko // Ravnovesie upruhikh tel kanonicheskoi formy. – K.: Nauk. dumka, 1985. – V.3. – 280 p.
2. Muskhelishvili, N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii upru hosti [Text] / N.I. Muskhelishvili. – Moskva: Nauka, 1966. – 707 p.
3. Timoshenko, S.P. Teoriia upruhosti [Text] / S.P. Timoshenko, Dzh. Huder. – M.: Nauka, 1975. – 576 p.
4. Shaldyrvan, V.A. Nekotorye rezultaty i problemy trekhmernoi teorii plastin (obzor) [Text] / V.A. Shaldyrvan // Prikl. mekhanika. – 2007. – 43, No2. – P.45–69.
5. Vihak, V.M. Doslidzhennia ploskoho napruzhenoho stanu v priamokutnii oblasti [Text] / V.M. Vihak, Yu.V. Tokovyi // Fiz.-khim. mekhanika materialiv. – 2002. – 38, No2. – P.61–66.
6. Meleshko, V.V. Infinite systems for a biharmonic problem in a rectangle [Text] / V.V. Meleshko, A.M. Gomilko // Proc. Roy. Soc. London, Physical and Engineering Sciences. – 1997. – 453, No 1965. – P.2139– 2160.
7. Revenko, V.P. Doslidzhennia rozpodilu napruzhen u priamokutnii- plastyni pid diieiu rozpodilenykh navantazhen [Text] / V.P. Revenko // Fiz.-khim. mekhanika materialiv. – 2007. – 43, No3. – P.12–18.
8. Revenko, V.P. O chislenno-analiticheskom metode rascheta napriazhennoho sostoianiia upruhoi priamouholnoi plastiny [Text] / V.P. Revenko // Prikl. mekhanika. – 2008. – 44, No1. – P.90–98.
9. Meleshko, V.V. Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem [Text] / V.V. Meleshko // Appl. Mech. Rev. – 2003. – 56, No1. – P.33–85.
10. Revenko, V.P. Pro konstruktyvnyi analitychno-chyslovyi metod rozviazuvannia ploskoi zadachi dlia plastyny z kutovymy tochkamy [Text] / V.P. Revenko // Dop. NAN Ukrainy. – 2009. – No2. – P.59–66.
11. Revenko, V.P. Podannia napruzheno-deformovanoho stanu tsylindrychnoi obolonky z nemalym priamokutnym otvorom [Text] / V.P. Revenko // Mashynoznavstvo. – 2013. – No5–6. – P.21–25.
12. Revenko, V.P. Vyznachennia napruzheno-deformovanoho stanu navantazhenoho na tortsiakh dvosharovoho tsylindra [Text] / V.P. Revenko // Mizhvuzivskyi zbirnyk "Naukovi notatky". – 2014. – Iss. 44. – P.233– 240.