519.71
612.17

якісний аналіз
рівняння Ходжкіна-Хакслі
класифікаційні правила
qualitative analysis
Hodgkin-Huxley model
classification rules

Наведено новий підхід до якісного аналізу системи рівнянь Ходжкіна-Хакслі мультиваріативним методом. Раніше такий аналіз був розроблений шляхом застосуванням багатовимірного підходу при дослідженні залежності форми траєкторії розв′язку рівнянь від початкових умов. Тепер забезпечено можливість урахування констант швидкостей через застосування алгоритму послідовного покриття. Дано оцінку складності. Підхід реалізовано у вигляді програмного забезпечення в пакеті Java-класів.
The paper presents an approach of qualitative analysis of the Hodgkin-Huxley model based on multivariate method including sequential covering algorithm. Earlier this method was developed as a multivariate approach to research dependence trajectory form on initial conditions. Here we extend this method for rates constants too. The method developed consists of 5 steps: at the first step we determine different excitability types, namely type I, type II, type III introduced in the Hodgkin’s works; at the second step we randomly generate initial values and rate constants, as in the Monte-Carlo methods; the third step is running the model and classification of trajectories obtained; at the forth step we construct matrix of relations between random initial values and rate constants in categorized form – as a result we have the set of learning tuples; the fifth step is application of sequential covering algorithm to learning tuples. Thus we get as a result the set of classification rules for prediction of neuron excitability type. We also analyze computational complexity of sequential algorithm applied. Estimation of time necessary for induction of classification rules is obtained. Experiments investigating dependences of classification rules and number of attributes or amount of tuples are presented. The approach is implemented as software consisting of package of Java-classes.

1. Brian Hassard. Bifurcation of periodic solutions of the Hodgkin-Huxley model for the squid giant axon [Text] // J. Theoret. Biol. – V.71 (1978), Issue 3. – P. 401–420.
2. Fukai H, Doi S, Nomura T, Sato S. Hopf bifurcations in multiple-parameter space of the Hodgkin-Huxley equations [Text] // Biol. Cybern. – V.82 (2000). – P.223–229.
3. J. Guckenheimer, I. S. Labouriau, Bifurcation of the Hodgkin–Huxley equations: A new twist [Text] // Bull. Of Math. Biol. – V.55 (1993), No.5. – P. 937–952.
4. B. Hassard, L.-J. Shiau. A special point of Z2-codimension three Hopf bifurcation in the Hodgkin-Huxley model [Text] // Appl. Math. Lett. – V.9 (1996). – P.31–34.
5. S. Labouriau. Degenerate Hopf bifurcation and nerve impulse. Part II [Text] // SIAM J. Math. Anal. – V.20 (1989), No.1. – P.1–12.
6. Майхрук З.В. Програмна реалізація чисельного методу оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі [Текст] / З.В. Майхрук // Вісник Хмельницького національного університету. – 2014. – No1(209). – С.186–194.
7. Майхрук, З.В. Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму [Текст] / З.В. Майхрук, В.П. Марценюк // Математичне та комп’ютерне моделювання: наук. журнал інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України Кам’янець- Подільського національного університету імені Івана Огієнка. – Вип.9. – 2014. – С.78–90.
8. Koch Y, Wolf T, Sorger PK, Eils R, Brors B (2013) Decision-Tree Based Model Analysis for Efficient Identification of Parameter Relations Leading to Different Signaling States. PLoS ONE; Dec2013, Vol. 8, Issue 12, p1: e82593. doi:10.1371/journal.pone.0082593.
9. Hodgkin, A.L., Huxley, A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve [Text]// J Physiol. Aug 28, 1952; 117(4). – P.500–544. PMC 1392413. PMID 12991237.
10. J. R. Clay et al. A simple modification of the Hodgkin and Huxley equations explains type 3 excitability in squid giant axons [Text] // J. R. Soc. Interface (2008) 5(29), – P. 1421–1428
11. Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи [Текст] / Г. Ваннер, С. Нерсетт, Э. Хайрер – М.: Мир, 1990. – 512 с.

1. Brian Hassard. Bifurcation of periodic solutions of the Hodgkin-Huxley model for the squid giant axon [Text] // J. Theoret. Biol. – V.71 (1978), Issue 3. – P. 401–420.
2. Fukai H, Doi S, Nomura T, Sato S. Hopf bifurcations in multiple-parameter space of the Hodgkin-Huxley equations [Text] // Biol. Cybern. – V.82 (2000). – P.223–229.
3. J. Guckenheimer, I. S. Labouriau, Bifurcation of the Hodgkin–Huxley equations: A new twist [Text] // Bull. Of Math. Biol. – V.55 (1993), No.5. – P. 937–952.
4. B. Hassard, L.-J. Shiau. A special point of Z2-codimension three Hopf bifurcation in the Hodgkin-Huxley model [Text] // Appl. Math. Lett. – V.9 (1996). – P.31–34.
5. S. Labouriau. Degenerate Hopf bifurcation and nerve impulse. Part II [Text] // SIAM J. Math. Anal. – V.20 (1989), No.1. – P.1–12.
6. Maikhruk Z.V. Prohramna realizatsiia chyselnoho metodu optymalnoho keruvannia bifurkatsiieiu v modeli Khodzhkina-Khaksli [Text] / Z.V. Maikhruk // Visnyk Khmelnytskoho natsionalnoho universytetu. – 2014. – No1(209). – P.186–194.
7. Maikhruk, Z.V. Pobudova optymalnoho keruvannia bifurkatsiieiu v modeli Khodzhkina-Khaksli na osnovi pryntsypu maksymumu [Text] / Z.V. Maikhruk, V.P. Martseniuk // Matematychne ta kompiuterne modeliuvannia: nauk. zhurnal instytutu kibernetyky imeni V.M. Hlushkova NAN Ukrainy Kamianets- Podilskoho natsionalnoho universytetu imeni Ivana Ohiienka. – Iss.9. – 2014. – P.78–90.
8. Koch Y, Wolf T, Sorger PK, Eils R, Brors B (2013) Decision-Tree Based Model Analysis for Efficient Identification of Parameter Relations Leading to Different Signaling States. PLoS ONE; Dec2013, Vol. 8, Issue 12, p1: e82593. doi:10.1371/journal.pone.0082593.
9. Hodgkin, A.L., Huxley, A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve [Text]// J Physiol. Aug 28, 1952; 117(4). – P.500–544. PMC 1392413. PMID 12991237.
10. J. R. Clay et al. A simple modification of the Hodgkin and Huxley equations explains type 3 excitability in squid giant axons [Text] // J. R. Soc. Interface (2008) 5(29), – P. 1421–1428
11. Vanner, H. Reshenie obyknovennykh differentsialnykh uravnenii. Nezhestkie zadachi [Text] / H. Vanner, S. Nersett, E. Khairer – M.: Mir, 1990. – 512 p.