539.3

товсті пластини
тривимірний напружений стан
тензор напружень
рівняння Ляме
thick plates
three-dimensional stressed state
stress tensor
Lamé equations

Запропоновано теорію згину товстої пластини, нормально навантаженої на бічних поверхнях, коли її напружений стан не описують гіпотези Кірхгофа-Лява або Тимошенка. Її тривимірний напружено-деформований стан розділено на симетричні згин і стиск. Для опису симетричного згину використано три гармонічних функції, які виражають загальний розв’язок рівнянь Ляме й описують тривимірний напружений стан пластини. Після інтегрування напружень по товщині пластини виражено згинальні та крутні моменти й поперечні зусилля через три двовимірні функції. Побудовано замкнуту систему рівнянь у часткових похідних восьмого порядку на введені двовимірні функції без використання гіпотез про геометричний характер деформування пластини. Тривимірні крайові умови зведені до двовимірного вигляду.
A theory of bending of the thick plate normally loaded on lateral surfaces, when its stress state is not described by the hypothesis of Kirchhoff–Love or Tymoshenko, is suggested. Its three-dimensional stress-strain state is divided into symmetrical bend and compression. To describe the symmetrical bend, three harmonic functions are used expressing the general solution of the Love equations and three-dimensional stress state of the plate. After integrating the stresses along the plate thickness, bending and torque moments and transverse stresses are expressed through three two-dimensional functions. Closed system of partial differential equations of the eighth order was developed on the introduced two-dimensional functions without the use of hypotheses about the geometric nature of the plate deformation. Three-dimensional boundary conditions are reduced to two-dimensional form.

1. Амбарцумян, С.А. Теория анизотропных пластин [Текст] / С.А. Амбарцумян. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
2. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки [Текст] / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. – М.: Физматгиз, 1966. – 636 с.
3. Космодамианский, А.С. Толстые многосвязные пластины [Текст] / А.С. Космодамианский, В.А. Шалдырван. – К.: Наук. думка, 1978. – 240 с.
4. Доннелл, Л.Г. Балки, пластины и оболочки [Текст] / Л.Г. Доннелл. – М.: Наука, 1982. – 568 с.
5. Lukasiewicz, S. Local Loads in Plates and Shells. Monographs and Textbooks on Mechanics of Solids and Fluids [Text] / S. Lukasiewicz. – Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, 1979. – 570 p.
6. Noor, A.K. Bibliography of Monographs and Surveys on Shells [Text] / A.K. Noor. Appl. Mech. Rev. – 1990. – 43, № 9. – P. 223 – 234.
7. Kobayashi, H.A Survey of Books and Monographs on Plates [Text] / H.A. Kobayashi // Mem. Fac. Eng., Osaka City Univ. – 1997. – 38. – P. 73 – 98.
8. Lebée, A. Bending gradient model for thick plates. Part I: Theory [Text] / A. Lebée, K.A. Sab // Int. J. of Solids and Struct. – 2010. – 48, № 20. – P. 2878 – 2888.
9. Ревенко, В.П. Тривимірна задача теорії пружності ортотропних консолей та пластин під згином поперечною силою [Текст] / В.П. Ревенко // Фіз. -хім. механіка матеріалів, – 2004, – 40, № 2. – С. 53 – 58.
10. Ревенко, В.П. Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач [Текст] / В.П. Ревенко // Фіз. -хім. механіка матеріалів. – 2015 – 51, № 6. – С. 34 – 39.
11. Ревенко, В.П. О решении трехмерных уравнений линейной теории упругости [Текст] / В.П. Ревенко // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 7. – С. 52 – 65.

1. Ambartsumyan S.A. Theory of anisotropic plates, Moskva, Nauka, 1987, 360 pp. [In Russian].
2. Timoshenko S.P., Voynovsky-Krieger S. Plates and shells, Moscow, Nauka, 1966, 636 pp. [In Russian].
3. Kosmodamiansky A.S., Shaldirvan V.A. The Thick Multi-Connected Plates, Kiev, Naukova dumka, 1978, 240 pp. [In Russian].
4. Donnell L.H. Beams, plates and shells, Moskva, Nauka, 1982, 568 pp. [In Russian].
5. Lukasiewicz S. Local Loads in Plates and Shells. Monographs and Textbooks on Mechanics of Solids and Fluids, Alphen aan den Rijn, Sijthoff & Noordhoff, 1979, 570 pp. https://doi.org/10.1007/978-94-009-9541-3
6. Noor A.K. Bibliography of Monographs and Surveys on Shells, Appl. Mech. Rev, 1990, Vol. 43, № 9, pp. 223 – 234.
7. Kobayashi H.A Survey of Books and Monographs on Plates, Mem. Fac. Eng., Osaka City Univ, 1997, Vol. 38, pp. 73 – 98.
8. Lebée A. and Sab K. A. bending gradient model for thick plates. Part I: Theory, Int. J. of Solids and Struct, 2010, Vol. 48, № 20, pp. 2878 – 2888.
9. Revenko V.P. Three-dimensional problem of the theory of elasticity for orthotropic cantilevers and plates subjected to bending by transverse forces, Materials Science, 2004, Vol. 40, No 2, pp. 215 – 222. https://doi.org/10.1007/s11003-005-0042-9
10.Revenko V.P. Reduction of a three-dimensional problem of the theory of bending of thick plates to the solution of two two-dimensional problems, Materials Science, 2015, Vol. 51, № 6, pp. 785 – 792.
11. Revenko V.P. Solving the three-dimensional equations of the linear theory of elasticity, Int. Appl. Mech., 2009, Vol. 45, No. 7, pp. 730 – 741. https://doi.org/10.1007/s10778-009-0225-4