539.313

короткий циліндр
штамп
осесиметрична деформація
енергетична гіпотеза Мізеса
функції Бесселя
short cylinder
stamp
axisymmetric deformation
strength fourth hypothesis
Bessel functions

Розглянуто пружну деформацію пластини у вигляді кругового циліндра під дією гладкої мембрани, яка контактує з пластиною вздовж всієї поверхні верхньої основи. Робота проводиться в напрямку знаходження критичних ділянок деформованого кругового циліндра, що знаходиться в постійній осьовій деформації під дією стискуючого навантаження. Верхівка циліндра натискається гладкою, абсолютно жорсткою параболічною печаткою, яка рухається вертикально і контактує з усією верхньою частиною циліндра. Нижня основа вільна від навантажень. Вважається, що - рівняння лінії, яка описує штамп у кінцевій позиції. Також вважається, що функція близька до параболи , де p - максимальний прогин верхньої основи та . Як критерій міцності застосовується енергетична гіпотеза Мізеса. Функція Ері представлена в тригонометричній формі за допомогою функцій Бесселя нульового та першого порядку . Отримано аналітичні формули для компонент тензора напружень досліджуваного тіла обертання, а також функція потенціальної енергії формозміни у відповідності з енергетичною гіпотезою Мізеса. Під час чисельного розв’язку задачі ми вважатимемо, що рівняння нижньої поверхні штампа в кінцевому положенні описується функцією із значеннями параметрів штампу . Коефіцієнт Пуассона вважається рівним 0,25, модуль зсуву рівним 0,5. Чисельно знайдено найбільш небезпечні з точки зору міцності області кругового циліндра. Адекватність побудованої математичної моделі перевіряється методом скінчених елементів. Представлені в статті графіки функції потенціальної енергії формозміни вказують на небезпечні з точки зору міцності ділянки кругового циліндра. Отримані результати планується узагальнити у випадку багатошарових циліндрів, виготовлених з різних матеріалів, які часто використовуються в промисловості
The elastic deformation of the plate in the form of a circular cylinder under the action of a smooth stamp contacting with the plate along the entire surface of the upper base is considered. The work deals with the finding of the critical areas of a deformed circular cylinder, undergoing a constant axial deformation under the action of the compressive load. The top of the cylinder is pressed by a smooth, absolutely rigid parabolic stamp that moves vertically and contacts with the entire top of the cylinder. Lower base is free of loads. As a criterion of strength the Mises energy hypothesis is taken. The Eri function is represented in a trigonometric form using the Bessel functions of zero and first order. The analytical formulas for components of the stress tensor for the investigated body of rotation are obtained, as well as the function of the potential energy of the form-change in accordance with the Mises energy hypothesis. The adequacy of the constructed mathematical model is checked by the method of finite elements.

1. Тимошенко, С.П. Курс теории упру гости [Текст] /С.П. Тимошенко. – Киев : Наукова думка, 1972. – 508 с.
2. Штефан, Т.А. Энергия формоизменения в коротком цилиндре при аксиальной симметрической деформации [Текст] / Т.А. Штефан, Е.В. Величко // Деформация и разрушение материалов. – 2014. – № 6. – С. 12 – 18.
3. Бекаев, А.Е. Об одной задаче многослойного цилиндра [Текст] / А.Е. Бекаев // Известия НАН РК. Серия физико-математическая. – № 1 (281). – Алматы, 2012. – С. 39 – 43.
4. Олегин, И.П. Определение напряженного состояния в трансверсально-изотропных цилиндрических телах [Текст] / И.П. Олегин // Научный вестник НГТУ. – 2001. – № 2. – С. 95 – 104.
5. Вігак, В.М. Точний розв’язок осесиметричної задачі теорії пружності в напруженнях для суцільного циліндра певної довжини [Текст] / В.М. Вігак, Ю.В. Токовий // Прикладні проблеми механіки і математики. – 2003. – Вип. 1. – С. 55 – 60.
6. Chan, K.T. A new analytic solution for the diametral point load strength test on finite solid circular cylinders [Text] / K.T. Chan, X. X. Wei // International journal of solids and structures. – 2001. – Vol. 38, № 4. – P. 1459 – 1481.
7. Процеров, Ю.С. Осесимметричные задачи теории упругости для цилиндра конечной длины со свободной цилиндрической поверхностью и учетом собственного веса [Текст] / Ю.С. Процеров // Вiсник Од. нац. ун-ту. Мат. i мех. – 2013 .– Т. 18, Вип. 3 (19). – С. 69 – 81.
8. Кухарь, В.В. Макропоказатели формоизменения и работа деформации при осадке заготовок выпуклыми плитами [Текст] / В.В. Кухарь // Вісник Національного технічного університету України «КПІ». Серія «Машинобудування». – Київ : Вип. № 64, 2012. – С. 227 – 233.
9. Тутышкин, Н.Д. Моделирование деформационной повреждаемости материалов при осесимметричной осадке [Текст] / Н.Д. Тутышкин, Х.Х. Куанг // Известия ТулГУ. Естественные науки. – Тула : Вып. № 1, 2011. – С. 129 – 137.
10.Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании [Текст] / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. – Москва : ГИФМЛ, 1960. – 490 с.
11.Штефан, Т.А. Численно-аналитическое решение задачи об осесимметрической деформации в цилиндре под действием сжимающих загрузок [Текст] / Т.А. Штефан, Е.В. Величко // ISSN 199550470 Механика машин, механизмов и материалов. – Минск, респ. Беларусь. – 2017. – № 4 (41). – С. 89 – 95.

1. Timoshenko S. Kurs teorii uprugosti. Kiev, Naukova dumka, 1972, p. 508 [In Ukrainian].
2. Shtefan Т.А., Velichко H.V. Energiya formoizmeneniya in korotkom zilindre pri aksialnoy simmetricheskoy deformazii. Derormaziya i razrushenie materialov. Moscow, 2014, no. 6, pp. 12 – 18 [In Russian].
3. Bekaev A.E. Ob odnoy zadache mnogosloynogo zilindra. Izvestiya RAN RK. Seriya fiziko-matematicheskaya. Almatu, 2012, no. 1(281), pp. 39 – 43 [In Russian].
4. Olegin I.P. Opredelenie napryazhzhenogo sostoyaniya v transversalno-izotropnuh zilindricheskih telah. Nauchnuy vestnik NGTU. 2001, no. 2, pp. 95 – 104 [In Russian].
5. Vigak V.M., Tokoviy U.N. Tochnuy rozvazok osesimetrichnoyi zadachi teorii pruzhnosti v napruzhenyah dlya suzilnogo zilindra pevnoyi dovzhini. Prikladni problemi mechaniki i matematiki. 2003, no. 1, pp. 55 – 60.
6. Chan K.T.,Wei X.X. A new analytic solution for the diametral point load strength test on finite solid circular cylinders. International journal of solids and structures. 2001, vol. 38, no. 4, pp. 1459 – 1481.
7. Prozerov U.S. Osesimmetrichnie zadachi teorii uprugosti dlya zilindra konechnoyi dlini so svobodnoy zilindricheskoy poverhnostiyu i uchetom sobstvennogo vesa. Vestnik nazionalnogo universitetu. Matematika i mechanika. 2013, vol.18, no. 3 (19), pp. 69 – 81 [In Russian].
8. Kuchar V.V. Makropokazateli formoizmeneniya i rabota defofmazii pri osadke zagotovok vupuklimi plitami. Visnik nazionalnogo tehnicheskogo universitetu Ukraini “KPI”. Seriya “Mashinobuduvannya”. Kiev, 2012, no. 64, pp. 227 – 233 [In Russian].
9. Tutishkin N.D., Kuang H.H. Modelirovanie deformazionnoy povrezhdaemosti materialov pri osesimmetricheskoy osadke. Izvestiya TulGU. Estestvenniye nauki. Tula, 2011, no. 1, pp. 129 – 137 [In Russian].
10. Vlasov V.Z., Leontiev N.N. Balki, pliti I oolochki na uprugom osnovanii. Moskva, 1960, p. 490 [In Russian].
11. Shtefan Т.А., Velichко H.V. Chislenno-analiticheskoe reshenie zadachi ob osesimmetricheskoy deformazii v cilindre pod deystviem szimauschih nagruzok. Mehanika mashin, mehanizmov I materialov. Minsk, 2017, no. 4(41), pp. 89 – 95 [In Russian].