539.3

вимушені коливання, дисипативний розігрів, п’єзоелектрична тривимірна призма.
forced vibrations, dissipative heating, piezoelectric, three-dimensional prism.

Призматичні тіла з пасивних та п’єзоактивних матеріалів широко використовуються в сучасній техніці. При гармонічному навантаженні електромеханічна енергія в таких тілах перетворюється в теплову енергію і температура тіла підвищується. Ця температура називається температурою дисипативного розігріву. Якщо ця температура дорівнює точці деградації активного матеріалу, елемент конструкції втрачає своє функціональне призначення. Для активного матеріалу точка деградації дорівнює точці Кюрі. Для дослідження дисипативного розігріву необхідно використовувати зв’язану теорію термоелектров’язкопружності. В даній роботі наведено постановку тривимірної зв’язаної задачі про вимушені коливання й  дисипативний розігрів непружної п’єзоелектричної призми при гармонічному електричному навантаженні. Непружна поведінка матеріалу моделюється комплексними характеристиками. Наведено дисипативну функцію, яка входить у рівняння енергії. Вважається, що характеристики матеріалу не залежать від температури. Тоді задача зводиться до розв’язування двох задач: задачі електропружності й задачі теплопровідності з відомим джерелом тепла. Розв’язок цих задач знаходиться методом скінчених елементів. Із використанням вказаного підходу розв’язано тривимірну задачу про вимушені коливання й дисипативний розігрів призматичного п’єзоелектричного тіла при гармонічному електричному навантаженні. Розраховано амплітуду – та температурно − частотні характеристики.

Prismatic passive and piezoactive nonelastic bodies are used wide-ly in present – day technics. Under harmonic loading the electromechanical energy in these bodies is turning in thermal energy and the body temperature is increasing. This temperature is named the temperature of dissipative heating. If the temperature is equal to degradation point of active material, the structure element is losing the functional role. For active material the degradation point is equal Curie point. For investigation of dissipative heating of nonelastic elements it is necessary to use coupling theory of thermoelectroviscoelastisity. In this paper the formulation of tree-dimensional coupling problem on the forced vibrations and dissipative heating of nonelastic piezoelectric prism under harmonic electric loading is given. Nonelastic behavior  of material is modeling of complex characteristics. Dissipative heating in energy equation is bringed. It is proposed that material characteristics don’t depend on the temperature. Then the problem is reduced to solution of two problems: problem of electroelastisity and problem of heat conduc-tivity with known heat source. Solutions of problems electroelasticity and heat conductivity are found by finite element method. By these approaches the three-dimensional problem on forced vibrations and dissipative heating of piezoelectric prism body under harmonic electric loading is soluted. Dependence of vibration amplitude and temperature on frequency is calculated.

1. Карнаухов, В.Г. Нелінійна термомеханіка непружних п’єзоелектричних тіл при моногармонічному навантаженні [Текст] / В.Г. Карнаухов, В.В. Михайленко. − Житомир, технічний університет, 2005.  – 488 с.
2. Карнаухов, В.Г. Теплове руйнування гнучких прямокутних в’язкопружних пластин з розподіленими сенсорами та актуаторами [Текст] / В.Г. Карнаухов, Т.В. Карнаухова, О. Макгиликадді // Журнал інженерної математики. – Том 78, № 1, 2013. – С. 199 – 212. https://doi.org/10.1007/s10665-011-9514-0
3. Гузь, I.О, Дисипативний розігрів і передбачення теплового  руйнування конструкцій з п’єзоактивними шарами [Текст] / I.О. Гузь, Я.О. Жук, M. Кашталян // Технічна механіка. – 2012. – Том. 32, no. 2 − 5. − С. 238 − 250.
4. Гузь, I.О, Передбачення часу теплового руйнування багатошарових балок з п’єзоелектричними шарами [Текст] / I.О. Гузь, Я.О. Жук, M. Кашталян // Тези з механіки деформівного твердого тіла восьмої європейської конференції ESMC-2012., Граз, Австрія, 9 – 13 липня 2012 року. – 2 с.
5. Карнаухов, В.Г. Термомеханіка зв’язаних полів в пасивних і п’єзоактивних непружних тілах при гармонічному деформуванні [Текст] / В.Г. Карнаухов // Журнал з температурних напружень. –
   Том. 28, no 6 − 7. − С. 783 − 815. https://doi.org/10.1080/01495730590946134
6. Карнаухов, В.Г. Зв’язані задачі термов’язкопружності [Текст] / В.Г. Карнаухов. – Київ: Наукова думка, 1982. – 260 с.
7. Карнаухов, В.Г. Теплове руйнування полімерних елементів конструкцій при моногармонічному навантаженн [Текст] / В.Г. Карнаухов // Прикладна механіка. – 2004. – 40, № 6. – С. 30 – 70. https://doi.org/10.1023/B:INAM.0000041392.73365.7a
8. Карнаухов, В.Г. Електротермов’язкопружність [Текст] / В.Г. Карнаухов, I.Ф. Kиричок. – Київ: Наукова думка, 1988. – 320 с.
9. Тривимірні задачі про коливання і дисипативний розігрів тіл обертання з пасивних і п’єзоактивних в’язкопружних матеріалів [Текст] / В.Г. Карнаухов, В.І. Koзлов, В.М. Січко, А.В. Завгородній. − Миколаїв, 2017. – 128 с.
10. Карнаухов, В.Г. Термомеханічна поведінка в’язкопружних тіл при гармонічному навантаженні [Текст] / В.Г. Карнаухов, I.K. Сенченков, Б.П. Гуменюк. – Київ: Наукова думка, 1985. – 288 с.

1. Karnaukhov V.G., Mychailenko V.V. Nonlinear thermomechanics of piezoelectric nonelastic bodies under monoharmonic loads, Zhytomir, Technical University, 2005, 488 p. [Іn Russian].
2. Karnaukhov V.G., Karnaukhova T.V., McGillicaddy O. Thermal failure of flexible rectangular viscoelastic plates with distributed sensors and actuators // Journal of Engineering Mathematics. Vol. 78,
   № 1, 2013. P. 199 – 212. https://doi.org/10.1007/s10665-011-9514-0
3. Guz I.A., Zhuk Y.A., Kashtalyan M. Dissipative Heating and Thermal Fatigue Life Prediction for Structures Containing Piezoactive Layers // Technische Mechanik. 2012. V. 32, No. 2 − 5. − P. 238 − 250.
4. Guz I.A., Zhuk Y.A., Kashtalyan M. Thermal fatigue life prediction for a sandwich beam containing  piezoactive layers / Book of Abstracts of ESMC-2012- 8th European Solid Mechanics Conference, Graz, Austria, July 9 − 13, 2012, 2p.
5. Karnaukhov V.G. Thermomechanics of coupled fields in passive and piezoactive nonelastic bodies under harmonic deformations // Journal of Thermal Stresses. Vol. 28, No 6 − 7. P. 783 − 815. https://doi.org/10.1080/01495730590946134
6. Karnaukhov V.G. Coupled problems of thermoviscoelasticity. Kiev: Naukova Dumka, 1982. 260 р. [Іn Russian].
7. Karnaukhov V.G. Thermal fatigue of polymer structure elements under monoharmonic loading // Appl. Mechanics. 2004. 40, № 6. Р. 30 – 70. https://doi.org/10.1023/B:INAM.0000041392.73365.7a
8. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F. Electrothermoviscoelasticity. Kiev: Naukova Dumka, 1988. 320 p. [Іn Russian].
9. Karnaukhov V.G., Kozlov V.І., Sіchко V.М., Zavgorodnij А.V. Three – dimensional problems on vibrations and dissipative heating of revolution bodies with passive and piezoactive viscoelastic materials. Nikolaev, 2017. 128 р. [Іn Russian].
10. Karnaukhov V.G., Senchenkov I.K., Gumeniyk B.P. Thermomechanical behavior of viscoelastic bodies under harmonic loading. Kiev: Naukova Dumka, 1985. 288 с. [Іn Russian].