614.841.34

багатошарова куля, квазіпохідна, прямий метод, граничний перехід.
multilayer sphere, quasi derivative, direct method, marginal transition.

Запропонована робота присвячена застосуванню прямого методу до дослідження процесів теплообміну в системі – куля всередині багатошарової сферичної оболонки (конструкції). Припускається що між шарами цієї системи існує ідеальний тепловий контакт, а теплообмін між навколишнім середовищем та зовнішньою поверхнею відбувається за законом Ньютона-Ріхмана. тобто виконуються умови третього роду. Закон зміни температури навколишнього середовища є довільною функцією часу, та рівномірно розподілений у при поверхневому шарі так, що ізотерми всередині конструкції являють собою концентричні сфери, тобто задача є симетричною і в такій постановці розв’язана вперше. Для розв’язування такої задачі паралельно ставиться допоміжна задача про визначення розподілу нестаціонарного температурного поля у багатошаровій порожнистій сферичній конструкції з «вилученою» кулею достатньо малого радіуса. При цьому умова симетрії вихідної задачі замінюється умовою другого роду на внутрішній поверхні цієї конструкції. Реалізація розв’язку допоміжної задачі проводиться шляхом застосування методу редукції із використанням концепції квазіпохідних. Надалі використовується схема Фур’є із застосуванням модифікованого методу власних функцій. Для знаходження розв’язку вихідної задачі використано ідею граничного переходу шляхом прямування радіусу вилученої кулі до нуля. Встановлено, що при такому підході всі власні функції відповідної задачі на власні значення не мають особливостей в нулі, а це означає, що й розв’язки вихідної задачі є обмеженими у всій конструкції. Для ілюстрації запропонованого методу розв’язано модельний приклад про знаходження розподілу температурного поля у системі семишарових сферичних конструкцій з різними теплофізичними характеристиками матеріалів. Результати обчислень представлені у вигляді таблиці про зміну температури в залежності від часу та просторової координати. Узагальнення  отриманих результатів для випадку інших крайових умов (наприклад, першого роду) будь якої скінченної кількості багатошарової сферичної конструкції не викликає жодних труднощів.
The article is devoted to the application of the direct method to the research of heat transfer processes in the system – bullet inside multilayered spherical shell. To solve the initial problem in parallel, we put an auxiliary problem on the determination of the distribution of a unsteady temperature field in a multilayer spherical solid with a "deleted" bullet of sufficiently small radius. Implementation of the solution of the auxiliary problem is carried out by applying the reduction method using the concept of quasi derivatives. In the future, is used the Fourier scheme with the use of the modified eigenfunctions method. To find the solution of the original problem used the idea of the marginal transition by direction of the radius of the deleted bullet to zero. It is established that in this approach all the eigenfunctions of the corresponding problem with the eigenvalues have no singularities at zero, which means that the solutions of the original problem are limited in the whole construction.

1. Singh, Suneet, and Prashant K. Jain. "Analytical solution for three-dimensional, unsteady heat conduction in a multilayer sphere." Journal of Heat Transfer 138.10 (2016): 101301. https://doi.org/10.1115/1.4033536
2. De Monte, Filippo. "Unsteady heat conduction in two-dimensional two slab-shaped regions. Exact closed-form solution and results." International Journal of Heat and Mass Transfer 46.8 (2003): 1455-1469. https://doi.org/10.1016/S0017-9310(02)00417-9
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности/ А.В. Лыков –М.: Высшая школа, 1967. – 600с.
4. Özişik M. N., Orlande H. R. B., Colaço M. J., Cotta R. M. Finite Difference Methods in Heat Transfer, Second Edition. New York: CRC Press, 2017. 580 p.
5. Gosz M. R. Finite Element Method: Applications in Solids, Structures, and Heat Transfer. - New York: CRC Press, 2017. - 400 p. https://doi.org/10.1201/9781315275857
6. O. Y. Pazen and R. M. Tatsii. “Direct (classical) method of calculation of the temperature field in a hollow multilayer cylinder”. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 91, no. 6, pp. 1373-1384, November 2018. https://doi.org/10.1007/s10891-018-1871-3
7. Р.М. Тацій, М.Ф. Стасюк, О.Ю. Пазен “Прямой метод расчета температурного поля в многослойной полой сферической конструкции” Вестник Кокшетаутского технического института, № 1(29), с. 9-20, 2018.
8. O. Y. Pazen and R. M. Tatsii, General boundary-value problems for the heat conduction equation with piecewise-continuous coefficients, Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 89, no. 2, pp. 357-368, March 2016. https://doi.org/10.1007/s10891-016-1386-8
9. Арсенин В.Я. Методы математической физики, М.: Наука, 1974. 432 с.
10. Тихонов А.Н., А.А. Самарский Уравнения математической физики, М.: Наука, 1977. 735 с.
11. Тацій Р. М., Пазен О.Ю. “Прямий метод розрахунку нестаціонарного температурного поля за умов пожежі”, Пожежна безпека : Зб. наук. пр. – Львів : ЛДУ БЖД, 2015. – № 26. – С. 135-141.
12. Тацій Р. М., Ушак Т.І., Пазен О.Ю. “Загальна третя крайова задача для рівняння теплопровідності з кусково-сталими коефіцієнтами та внутрішніми джерелами тепла”, Пожежна безпека: Зб. наук. пр. – Львів : ЛДУ БЖД, 2015. – № 27. – С. 120-126.
13. O. Y. Pazen and R. M. Tatsii, General boundary-value problems for the heat conduction equation with piecewise-continuous coefficients, Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 89, no. 2, pp. 357-368, March 2016. https://doi.org/10.1109/INFOCOMMST.2017.8246353

1. Singh, Suneet, and Prashant K. Jain. "Analytical solution for three-dimensional, unsteady heat conduction in a multilayer sphere." Journal of Heat Transfer 138.10 (2016): 101301. https://doi.org/10.1115/1.4033536
2. De Monte, Filippo. "Unsteady heat conduction in two-dimensional two slab-shaped regions. Exact closed-form solution and results." International Journal of Heat and Mass Transfer 46.8 (2003): 1455-1469. https://doi.org/10.1016/S0017-9310(02)00417-9
3. Lykov, A.V. (1967) Teoriia teploprovodnosti, Vysshaia shkola, Mockow, USSS [in Russian].
4. Özişik M. N., Orlande H. R. B., Colaço M. J., Cotta R. M. Finite Difference Methods in Heat Transfer, Second Edition. New York: CRC Press, 2017. 580 p.
5. Gosz M. R. Finite Element Method: Applications in Solids, Structures, and Heat Transfer. - New York: CRC Press, 2017. - 400 p. https://doi.org/10.1201/9781315275857
6. O. Y. Pazen and R. M. Tatsii. “Direct (classical) method of calculation of the temperature field in a hollow multilayer cylinder”. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 91, no. 6, pp. 1373-1384, November 2018. https://doi.org/10.1007/s10891-018-1871-3
7. R. M. Tatsii, M.F. Stasiuk and O. Y. Pazen. “Pryamoy metod rascheta temperaturnogo polya v mnogosloynoy poloy sfericheskoy konstruktsii” Vestnik Kokshetauskogo tekhnicheskogo instituta, no. 1(29), pp. 9-20, 2018. (In Russian).
8. O. Y. Pazen and R. M. Tatsii, General boundary-value problems for the heat conduction equation with piecewise-continuous coefficients, Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 89, no. 2, pp. 357-368, March 2016. https://doi.org/10.1007/s10891-016-1386-8
9. Arsenin, V.Ya. (1974) Metody matematicheskoii fizyky, Nauka, Moscow, USSR [in Russian].
10. Tihonov, A.N. and Samarskii, A.A. (1977) Uravnenie matematicheskoii fizyky,  Nauka, Moscow, USSR [in Russian].
11. Tatsiy R. M., O. Yu. Pazen “Pryamyy metod rozrakhunku nestatsionarnoho temperaturnoho polya za umov pozhezhi”, Pozhezhna bezpeka : Zb. nauk. pr. – Lviv : LDU BZHD, 2015. – № 26. – S. 135-141 [in Ukrainian].
12. Tatsiy R. M., Ushak T.I., O.Yu, Pazen Zahalna tretya krayova zadacha dlya rivnyannya teploprovidnosti z kuskovo-stalymy koefitsiyentamy ta vnutrishnimy dzherelamy tepla, Pozhezhna bezpeka: Zb. nauk. pr. – Lviv : LDU BZHD, 2015. – № 27. – S. 120-126 [in Ukrainian].
13. O. Y. Pazen "Mathematical modelling and computer simulation of direct method for studying boundary value problem of thermal conductivity" Problems of Infocommunications. Science and Technology, pp. 73-76. 2017. https://doi.org/10.1109/INFOCOMMST.2017.8246353