539.3

пластина Рейсснера
щілина
тріщина
двобічний згин
контакт берегів тріщини
плоский напружений стан
комплексні потенціали
контактні зусилля
коефіцієнти інтенсивності
Reissner’s plate
slit
crack
bilateral bending
contact of crack faces
plane stress
complex potentials
contact forces
intensity factors

Досліджено напружено-деформований стан ізотропної пластини з прямолінійними співвісними наскрізними щілиною та тріщиною за двобічного згину розподіленими моментами на нескінченності. Береги дефектів до прикладання зовнішнього навантаження були вільними від нього, а під дією згинальних моментів на нескінченності береги тріщини прийшли у гладкий контакт уздовж області сталої ширини поблизу однієї з основ пластини. На основі методів теорії функцій комплексної змінної і комплексних потенціалів плоскої задачі теорії пружності та теорії згину пластин за Рейсснером розв’язок задачі зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь як на тріщині, так і на щілині, яку розв’язано числово за допомогою методу механічних квадратур. Побудовано графічні залежності для контактного зусилля між берегами тріщини, коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів за різних параметрів задачі.
Construction of the cracked plate bending problems solutions forms an important and actual in terms of theory development and practical applications scientific direction. They make it possible to determine stress and displacement distribution near the defects tips, as well as make recommendations for selecting optimal geometrical, physical and mechanical characteristics of plates depending on operating conditions in order to prevent destruction of engineering constructions. In this paper the stress-strain state of boundless isotropic plate with coaxial through-the-thickness slit and crack, the faces of which are free from the external loading is investigated. The plate is under the action of the uniformly distributed in a remote part bending moments, which vectors are parallel and perpendicular to the axe of the defects. It is assumed that under external loading the crack faces come in a smooth contact on all crack length along the two-dimensional area of constant width near the upper plate basis. As a result of the crack faces contact the solution of problem is presented in the form of two related problems solutions: the theory of elasticity plane problem and the problem of plates bending based on the equations of Reissner theory. On the basis of complex variable function theory methods and complex potentials the system of singular integral equations is obtained which is reduced by the mechanical quadratures method to the infinite system of linear algebraic equations. This system is solved numerically by the method of reduction using Gauss with a choice of main entry. The numerical analysis of problem at some parameters values is carried out and graphic dependences for contact force between the faces of crack, force and moment intensity factors are constructed. In particular cases known in the scientific literature results for Reissner’s plate bending problems with one crack considering the contact zone width of its faces, with two coaxial slits as well as for appropriate problems solved using equations of the classical theory of plates bending are obtained.

1. Бережницкий, Л.Т. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин [Текст] / Л.Т. Бережницкий, М.В. Делявский, В.В. Панасюк. – Киев: Наук. думка, 1979. – 400 с.
2. Прусов, И.А. Метод сопряжения в теории плит [Текст] / И.А. Прусов. – Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1975. – 256 с.
3. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами [Текст] / М.П. Саврук. – Киев: Наук. думка, 1981. – 324 с.
4. Alwar, R.S. Influence of crack closure on the stress intensity factor for plates subjected to bending – A 3-D finite element analysis [Text] / R.S. Alwar, K.N. Ramachandran Nambissan // Eng. Fracture Mech. – 1983. – 17, No. 4. – P.323 – 333.
5. Heming, F.S. Jr. Sixth order analysis of crack closure in bending of an elastic plate [Text] / F.S. Jr. Heming // Int. J. Fracture. – 1980. – 16, No. 4. – P.289 – 304.
6. Jones, D.P. The influence of crack closure and elasto-plastic flow on the bending of a cracked plate [Text] / D.P. Jones, J.L. Swedlow // Int. J. Fracture. – 1975. – 11, No. 6. – P. 897 – 914.
7. Williams, M.L. The bending stress distribution at the base of a stationary crack [Text] / M.L. Williams // Trans ASME. J. Appl. Mech. – 1961. – 28. – P.78 – 82.
8. Опанасович, В.К. Згин пластини з наскрізною прямолінійною тріщиною з урахуванням ширини області контакту її поверхонь [Текст] / В.К. Опанасович // Наук. нотатки Луцьк. техн. ун-ту. – 2007.  Вип. 20 (2). – С. 123 – 127.
9. Опанасович, В.К. Врахування контакту берегів тріщини під час згину трансверсально-ізотропної пластини [Текст] / В.К. Опанасович, В.П. Новосад, Р.Г. Селіверстов // Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій: Зб. наук. праць. – Вип. 5. – Львів: Каменяр, 2002. – С.148 – 153.
10. Опанасович, В. Згин пластини Рейсснера з наскрізною тріщиною з урахуванням ширини області контакту її берегів [Текст] / В. Опанасович, І. Яцик // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат.  2008.  Вип. 69.  C. 125–135.
11. Шацький, І.П. Згин пластини, ослабленої розрізом з контактуючими берегами [Текст] / І.П. Шацький // Доп. АН УРСР. Сер. А. Фіз.-мат. та техн. науки. – 1988. – № 7. – С. 49 – 51.
12. Шацький, І.П. Згин напівнескінченної пластини, ослабленої розрізом з контактуючими берегами [Текст] / І.П. Шацький, В.В. Перепічка // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1992. – 28, № 2. – С. 54 – 58.
13. Задачі теорії пластин та оболонок із взаємопов’язаними крайовими умовами на розрізах [Текст] / І. Шацький, В. Перепічка, Т. Даляк, А. Щербій // Мат. проблеми механіки неоднорідних структур: в 2 т. – Львів, 2000. – Т. 2. – С. 51 – 54.
14. Benedetti, I. A fast 3D dual boundary element method based on hierarchical matrices [Text] / I. Benedetti, M.H. Aliabadi, G. Davi // Int. J. Solids Struct. – 2008. – 45, No. 7 – 8. – P.2355 – 2376.
15. Dempsey, J.P. Closure of a through crack in a plate under bending [Text] / J.P. Dempsey, I.I. Shekhtman, L.I. Slepyan // Int. J. Solids Struct. – 1998. – 35, No. 31 – 32. – P.4077 – 4089.
16. Dirgantara, T. Stress intensity factors for cracks in thin plates [Text] / T. Dirgantara, M.H. Aliabadi // Eng. Fracture Mech. – 2002. – 69. – P. 1465 – 1486.
17. Guimaraes, S. The method of fundamental solutions for fracture mechanics – Reissner’s plate application [Text] / S. Guimaraes, J.C.F. Telles // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2009. – 33, No. 10. – P.1152 – 1160.
18. Kwon, Y.W. Finite element analysis of crack closure in plate bending [Text] / Y.W. Kwon // Comput. Struct. – 1989. – 32, No. 6. – P.1439 – 1445.
19. Litewka, B. Application of the fundamental solutions by Ganowicz in a static analysis of Reissner’s plates by the boundary element method [Text] / B. Litewka, R. Sygulski // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2010. – 34, No. 12. – P. 1072 – 1081.
20. Wen, P.H. A variational approach for evaluation of stress intensity factors using the element free Galerkin method [Text] / P.H. Wen, M.H. Aliabadi // Int. J. Solids Struct. – 2011. – 48, No. 7 – 8. – P. 1171 – 1179.
21. Young, M.J. Influence of crack closure on the stress intensity factor in bending plates – A classical plate solution [Text] / M.J. Young, C.T. Sun // Int. J. Fracture. – 1992. – 55. – P. 81 – 93.
22. Даляк, Т. Про взаємодію тріщин з щілинами при згині пластинки [Текст] / Т. Даляк // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій / за заг. ред. Панасюка В.В: в 3 т. – Вип. 2. – Т. 2: Аналітичні методи в механіці руйнування матеріалів. – Львів: Каменяр, 1999. – С. 269 – 272.
23. Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки [Текст] / С.П. Тимошенко, С. Войновски–Кригер. – Москва: Наука, 1966. – 636 с.
24. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. – Москва: Наука, 1966. – 708 с.
25. Панасюк, В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках [Текст] / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацишин. – Киев: Наук. думка, 1976. – 444 с.
26. Мазурак, Л.П. Изгиб трансверсально-изотропных пластин с дефектами типа трещин [Текст] / Л.П. Мазурак, Л.Т. Бережницкий. – Киев: Наук. думка, 1990. – 256 с.
27. Опанасович, В.К. Сингулярні інтегральні рівняння задачі згину пластини з тріщиною за теорією Рейсснера [Текст] / В.К. Опанасович // Праці НТШ. – Том VI: Матеріалознавство і механіка матеріалів. – Львів, 2001. – С. 120 – 125.
28. Опанасович, В.К. Новий підхід до розрахунку напруженого стану плити з тріщиною за теорією Рейсснера [Текст] / В.К. Опанасович, М.В. Делявський, А. Подхорецкі // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій / під заг. ред. В.В. Панасюка: в 3 т. – Вип. 2. – Т. 2: Аналітичні методи в механіці руйнування матеріалів. – Львів: Каменяр, 1999. – С. 186 – 189.
29. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами [Текст]; под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – Москва: Наука, 1979. – 832 с.
30. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. – Москва: Наука, 1968. – 511 с.
31. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений [Текст]; под. ред. Ю. Мураками. – М.: Мир, 1990. – Т. 1, Т. 2. – 1016 с.
32. Опанасович, В.К. Напружений стан плити з двома прямолінійними колінеарними тріщинами за теорією Рейсснера [Текст] / В.К. Опанасович, Р.Г. Селіверстов // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000.  Вип. 57. – С. 124 – 127.
33. Опанасович, В.К. Згин плити з двома рівними прямолінійними колінеарними тріщинами за теорією Рейсснера [Текст] / В.К. Опанасович, Р.Г. Селіверстов // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2001.  № 1. – С. 53 – 56.
34.Опанасович В. Згин пластини Рейснера з двома співвісними наскрізними тріщинами різної довжини з урахуванням ширини області контакту їхніх берегів [Текст] / В. Опанасович, І. Яцик // Машинознавство. – 2009. – Вип. № 4 (142). – С. 18 – 25.

1. Berezhnitskii, L.T. Izhib tonkikh plastin s defektami tipa treshchin [Text], L.T. Berezhnitskii, M.V. Deliavskii, V.V. Panasiuk, Kiev: Nauk. dumka, 1979, 400 p.
2. Prusov, I.A. Metod sopriazheniia v teorii plit [Text], I.A. Prusov, Minsk: Izd-vo Belorus. un-ta, 1975, 256 p.
3. Savruk, M.P. Dvumernye zadachi upruhosti dlia tel s treshchinami [Text], M.P. Savruk, Kiev: Nauk. dumka, 1981, 324 p.
4. Alwar, R.S. Influence of crack closure on the stress intensity factor for plates subjected to bending – A 3-D finite element analysis [Text], R.S. Alwar, K.N. Ramachandran Nambissan, Eng. Fracture Mech, 1983, 17, No. 4, P.323 – 333.
5. Heming, F.S. Jr. Sixth order analysis of crack closure in bending of an elastic plate [Text], F.S. Jr. Heming, Int. J. Fracture, 1980, 16, No. 4, P.289 – 304.
6. Jones, D.P. The influence of crack closure and elasto-plastic flow on the bending of a cracked plate [Text], D.P. Jones, J.L. Swedlow, Int. J. Fracture, 1975, 11, No. 6, P. 897 – 914.
7. Williams, M.L. The bending stress distribution at the base of a stationary crack [Text], M.L. Williams, Trans ASME. J. Appl. Mech, 1961, 28, P.78 – 82.
8. Opanasovych, V.K. Zghyn plastyny z naskriznoiu priamoliniinoiu trishchynoiu z urakhuvanniam shyryny oblasti kontaktu yii poverkhon [Text], V.K. Opanasovych, Nauk. notatky Lutsk. tekhn. un-tu, 2007.  Iss. 20 (2), P. 123 – 127.
9. Opanasovych, V.K. Vrakhuvannia kontaktu berehiv trishchyny pid chas zghynu transversalno-izotropnoi plastyny [Text], V.K. Opanasovych, V.P. Novosad, R.H. Seliverstov, Mekhanika i fizyka ruinuvannia budivelnykh materialiv ta konstruktsii: Zb. nauk. prats, Iss. 5, Lviv: Kameniar, 2002, P.148 – 153.
10. Opanasovych, V. Zghyn plastyny Reissnera z naskriznoiu trishchynoiu z urakhuvanniam shyryny oblasti kontaktu yii berehiv [Text], V. Opanasovych, I. Yatsyk, Visn. Lviv. un-tu. Ser. mekh.-mat.  2008.  Iss. 69.  P. 125–135.
11. Shatskyi, I.P. Zghyn plastyny, oslablenoi rozrizom z kontaktuiuchymy berehamy [Text], I.P. Shatskyi, Dop. AN URSR. Ser. A. Fiz.-mat. ta tekhn. nauky, 1988, No 7, P. 49 – 51.
12. Shatskyi, I.P. Zghyn napivneskinchennoi plastyny, oslablenoi rozrizom z kontaktuiuchymy berehamy [Text], I.P. Shatskyi, V.V. Perepichka, Fiz.-khim. mekhanika materialiv, 1992, 28, No 2, P. 54 – 58.
13. Zadachi teorii plastyn ta obolonok iz vzaiemopoviazanymy kraiovymy umovamy na rozrizakh [Text], I. Shatskyi, V. Perepichka, T. Daliak, A. Shcherbii, Mat. problemy mekhaniky neodnoridnykh struktur: v 2 t, Lviv, 2000, V. 2, P. 51 – 54.
14. Benedetti, I. A fast 3D dual boundary element method based on hierarchical matrices [Text], I. Benedetti, M.H. Aliabadi, G. Davi, Int. J. Solids Struct, 2008, 45, No. 7 – 8, P.2355 – 2376.
15. Dempsey, J.P. Closure of a through crack in a plate under bending [Text], J.P. Dempsey, I.I. Shekhtman, L.I. Slepyan, Int. J. Solids Struct, 1998, 35, No. 31 – 32, P.4077 – 4089.
16. Dirgantara, T. Stress intensity factors for cracks in thin plates [Text], T. Dirgantara, M.H. Aliabadi, Eng. Fracture Mech, 2002, 69, P. 1465 – 1486.
17. Guimaraes, S. The method of fundamental solutions for fracture mechanics – Reissner’s plate application [Text], S. Guimaraes, J.C.F. Telles, Eng. Anal. Bound. Elem, 2009, 33, No. 10, P.1152 – 1160.
18. Kwon, Y.W. Finite element analysis of crack closure in plate bending [Text], Y.W. Kwon, Comput. Struct, 1989, 32, No. 6, P.1439 – 1445.
19. Litewka, B. Application of the fundamental solutions by Ganowicz in a static analysis of Reissner’s plates by the boundary element method [Text], B. Litewka, R. Sygulski, Eng. Anal. Bound. Elem, 2010, 34, No. 12, P. 1072 – 1081.
20. Wen, P.H. A variational approach for evaluation of stress intensity factors using the element free Galerkin method [Text], P.H. Wen, M.H. Aliabadi, Int. J. Solids Struct, 2011, 48, No. 7 – 8, P. 1171 – 1179.
21. Young, M.J. Influence of crack closure on the stress intensity factor in bending plates – A classical plate solution [Text], M.J. Young, C.T. Sun, Int. J. Fracture, 1992, 55, P. 81 – 93.
22. Daliak, T. Pro vzaiemodiiu trishchyn z shchilynamy pry zghyni plastynky [Text], T. Daliak, Mekhanika ruinuvannia materialiv i mitsnist konstruktsii, by gen. ed. Panasiuka V.V: v 3 t, Iss. 2, V. 2: Analitychni metody v mekhanitsi ruinuvannia materialiv, Lviv: Kameniar, 1999, P. 269 – 272.
23. Timoshenko, S.P. Plastiny i obolochki [Text], S.P. Timoshenko, S. Voinovski–Kriher, Moskva: Nauka, 1966, 636 p.
24. Muskhelishvili, N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii upruhosti. Osnovnye uravneniia. Ploskaia teoriia upruhosti. Kruchenie i izhib [Text], N.I. Muskhelishvili, Moskva: Nauka, 1966, 708 p.
25. Panasiuk, V.V. Raspredelenie napriazhenii okolo treshchin v plastinakh i obolochkakh [Text], V.V. Panasiuk, M.P. Savruk, A.P. Datsishin, Kiev: Nauk. dumka, 1976, 444 p.
26. Mazurak, L.P. Izhib transversalno-izotropnykh plastin s defektami tipa treshchin [Text], L.P. Mazurak, L.T. Berezhnitskii, Kiev: Nauk. dumka, 1990, 256 p.
27. Opanasovych, V.K. Synhuliarni intehralni rivniannia zadachi zghynu plastyny z trishchynoiu za teoriieiu Reissnera [Text], V.K. Opanasovych, Pratsi NTSh, Tom VI: Materialoznavstvo i mekhanika materialiv, Lviv, 2001, P. 120 – 125.
28. Opanasovych, V.K. Novyi pidkhid do rozrakhunku napruzhenoho stanu plyty z trishchynoiu za teoriieiu Reissnera [Text], V.K. Opanasovych, M.V. Deliavskyi, A. Podkhoretski, Mekhanika ruinuvannia materialiv i mitsnist konstruktsii, by gen. ed. V.V. Panasiuka: v 3 t, Iss. 2, V. 2: Analitychni metody v mekhanitsi ruinuvannia materialiv, Lviv: Kameniar, 1999, P. 186 – 189.
29. Spravochnik po spetsialnym funktsiiam s formulami, hrafikami i matematicheskimi tablitsami [Text]; ed. M. Abramovitsa, I. Stihan, Moskva: Nauka, 1979, 832 p.
30. Muskhelishvili, N.I. Sinhuliarnye intehralnye uravneniia. Hranichnye zadachi teorii funktsii i nekotorye ikh prilozheniia k matematicheskoi fizike [Text], N.I. Muskhelishvili, Moskva: Nauka, 1968, 511 p.
31. Spravochnik po koeffitsientam intensivnosti napriazhenii [Text]; pod. red. Iu. Murakami, M., Mir, 1990, V. 1, V. 2, 1016 p.
32. Opanasovych, V.K. Napruzhenyi stan plyty z dvoma priamoliniinymy kolinearnymy trishchynamy za teoriieiu Reissnera [Text], V.K. Opanasovych, R.H. Seliverstov, Visnyk Lviv. un-tu. Ser. mekh.-mat, 2000.  Iss. 57, P. 124 – 127.
33. Opanasovych, V.K. Zghyn plyty z dvoma rivnymy priamoliniinymy kolinearnymy trishchynamy za teoriieiu Reissnera [Text], V.K. Opanasovych, R.H. Seliverstov, Fiz.-khim. mekhanika materialiv, 2001.  No 1, P. 53 – 56.
34.Opanasovych V. Zghyn plastyny Reisnera z dvoma spivvisnymy naskriznymy trishchynamy riznoi dovzhyny z urakhuvanniam shyryny oblasti kontaktu yikhnikh berehiv [Text], V. Opanasovych, I. Yatsyk, Mashynoznavstvo, 2009, Vyp. No 4 (142), P. 18 – 25.