539.377

термобар’єрне покриття
відшарування
температура
термоопір
коефіцієнти тепловіддачі
інтегральні рівняння Фредгольма другого роду
thermal barrier coating
delamination
temperature
thermal resistance
heat-transfer coefficients
Fredholm integral equations of the second kind

Досліджено температуру термобар’єрного покриття, спричинену різницею температур основи та довкілля за теплообміну з довкіллям на лицевій поверхні покриття та недосконалого теплового контакту на інтерфейсі покриття-основа, що характеризується локальним підвищенням термоопору на ділянці міжфазного розшарування. Запропоновано спосіб зведення крайової задачі теплопровідності для покриття до системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду відносно функцій, що є лінійними комбінаціями інтегральних характеристик температури покриття (середньої температури і температурного моменту). Побудовано числову схему розв’язування інтегральних рівнянь з використанням методу квадратурних формул. Наведено результати числового аналізу розподілу інтегральних характеристик температури в покритті – середньої температури та температурного моменту.
The problem of determining temperature in a thin partially delaminated thermal barrier coating is considered taking into account the convective heat exchange with the surrounding environment at the front and end surfaces of the coating and the imperfect thermal contact with the base, which is modeled by thermal resistance. In view of deterioration of heat exchange between the base and the coating in the separation region, thermal resistance in this region is assumed to be greater than thermal resistance in the regions of full adhesion. The heat-transfer coefficient at the front surface of the coating is coordinate-dependent. With the use of the propositions of heat conduction in thin elements of constructions, a model for describing temperature field in a partially delaminated coating, caused by the difference between the temperatures of the base and the surrounding environment, is proposed. Utilizing the method of variation of constants, an approach for reducing the heat conduction boundary value problem for the coating to a system of Fredholm integral equations of the second kind for the functions that are linear combinations of the integral characteristics of the coating temperature (the mean temperature and the temperature moment) and the temperature of the surrounding environment and the base is developed. A numerical scheme for solving the system of integral equations is constructed using the quadrature method. In particular, Simpson's quadrature formulae are utilized to evaluate the integrals, and the system of Fredholm integral equations of the second kind is reduced to a system of linear algebraic equations. The results of numerical analysis of temperature distribution at the front surface of the coating and at the interface between the coating and the base are given for the case of thermal insulation of the end surfaces and the case of convective heat exchange with the surrounding environment at them. The distributions of the mean temperature and the temperature moment are examined for various values of thermal resistance in the separation region. It is revealed that an increase in thermal resistance leads to a significant temperature perturbation at the front surface as well as at the interface between the coating and the base. However, the value of the temperature moment in the separation zone is slightly decreasing in comparison with the case when the delamination does not occur at the interface between the coating and the base.

1. Подстригач, Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры [Текст] / Я. С Подстригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. – М. : Наука, 1984. – 368 с.
2. Sugano, Y. Material design for reduction of thermal stress in a functionally graded material rotating disk [Текст] / Y. Sugano, R. Chiba, K. Hirose, K. Takahashi // JSME international journal. Series A. – 2004. – Vol. 47, No2. – P. 189–197.
3. Sugano, Y. Transient thermal stresses in a rectangular plate due to ariation of heat-transfer coefficients on upper and lower surfaces [Текст] / Y. Sugano// Inl J. Engng Sri. – 1983. – 21, No10. – P. 1203–1214.
4. Подстригач, Я. С. Учет теплоотдачи при локальном нагреве тонкостенных элементов конструкций [Текст] /Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно// Докл. Академии наук СССР. – 1975. – 225, No4. – С. 778–781.
5. Хапко, Б. С. Термічний прогин смуги і прямокутної пластинки із залежними від координати коефіцієнтами тепловіддачі [Текст] / Б. С. Хапко, А. І. Чиж // Мат. методи та фіз. -мех. поля. – 2009. – 52, No4. – С. 198–206.
6. Вигак, В. М. О построении решения уравнения теплопроводности для кусочно-однородного тела [Текст] / В. М. Вигак // Докл. АН УССР. – Серия А. – 1980. – No1. – С. 30–32.
7. Коляно, Ю. М. Об одном эффективном методе решения задач термоупругости для кусочно- однородных тел, нагреваемых внешней средой [Текст] / Ю. М. Коляно, В. С. Попович В. С. // Физ. -хим. механика материалов. – 1976. – No2. – С. 108–112.
8. Кушнір, Р. М. Про побудову розв’язків звичайних лінійних диференціальних рівнянь з кусково– сталими коефіцієнтами [Текст] / Р. М. Кушнір // Доп. АН УРСР. Серия А. – 1980. – No9. – C. 54–57.
9. Процюк, Б. В. Побудова фундаментальної системи розв'язків звичайного лінійного диференціального рівняння з розривними і сингулярними коефіцієнтами [Текст] / Б. В. Процюк // Мат. методи та фіз. -мех. поля. – 1999. – 42, No4. – С. 116–122.
10. Образцов, И. Ф. Строительная механика скошенных тонкостенных систем [Текст] / И. Ф. Образцов, Г. Г Онанов. – М. : Машиностроение, 1973. – 659 с.
11. Гольдштейн, Р. В. Оценка влияния податливости положки на напряжения, вызывающие потерю устойчивости отслоившегося покрытия [Текст] / Р. В. Гольдштейн, К. Б. Устинов, А. В. Ченцов // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, No3. – С. 48–57.
12. Люкшин, П. А. Моделирование напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости термобарьерного покрытия при тепловом ударе [Текст] / П. А. Люкшин, Б. А. Люкшин, Н. Ю. Матолыгина, С. В. Панин // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, No1. – С. 33–41.
13. Моделирование отслоения термобарьерных покритий под. действием температурных напряжений [Електронний ресурс] / П. А. Люкшин, Б. А. Люкшин, Н. Ю. Матолыгина, С. В. Панин // Совр. проблемы прикл. матем. и мех. : теория, эксперимент и практика. Материалы Междунар. конф., посв. 90-летию со дня рожд. акад. . Н. Н. Яненко. – Новосиб. : ИВТ СО РАН. – 2011. – Режим доступу: http://conf. nsc. ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/35766/47806/%28Новосибирск_2%29. pdf.
14. Кит, Г. С. Задача термоупругости для биматериала с межфазной трещиной, берега которой контактируют на центральном участе [Текст] / Г. С. Кит, Р. М. Мартыняк, С. П. Нагалка, Х. И. Гончар // Теоретическая и прикладная механика. – 2002. – Вып. 36. – С. 83–90.
15. Мартиняк, Р. М. Моделювання термопружної поведінки біматеріалу з теплопроникною міжфазною тріщиною [Текст] / Р. М. Мартиняк, Х. І. Гончар // Прикл. проблеми мех. і мат. – 2005. – Вип. 3. – С. 83–88.
16. Гольдштейн, Р. В. Ефект часткового закриття міжфазної тріщини з теплопровідним заповнювачем і поверхневими плівками при дії на біматеріал термічного навантаження [Текст] / Р. В. Гольдштейн, Г. С. Кіт, Р. М. Мартиняк, Х. І. Середницька // Мат. методи та фіз. -мех. поля. – 2012. – Т. 55, No4. – C. 64–73.
17. Мартиняк, Р. М. Термічне розкриття початково закритої міжфазної тріщини за неідеального теплового контакту берегів [Текст] /Р. М. Мартиняк // Физ. –хим. механика материалов. – 1999. –Т. 35, No5. – С. 14–22.
18. Шлыков, Ю. П. Контактное термическое сопротивление [Текст] / Ю. П. Шлыков, Е. А. Ганин, С. Н. Царевский. − М. : Энергия, 1977. – 328 с.
19. Подстригач, Я. С. Термоупругость тонких оболочек [Текст] / Я. С. Подстригач, Р. Н. Швец. – К. : Наук. думка, 1978. – 344 с.
20. Хапко, Б. С. Температурные напряжения в прямоугольной пластинке с распределенными по произвольной кривой источником тепла [Текст] / Б. С. Хапко // Мат. методы и физ. -мех. поля. – 1982. – Вып. 16. – С. 48–52.
21. Верлань, А. Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ [Текст] / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – К. : Наук. думка, 1978. – 292 с.

1. Podstrihach, Ia. S. Termoupruhost tel neodnorodnoi struktury [Text] / Ia. S Podstrihach, V. A. Lomakin, Iu. M. Koliano. – M. : Nauka, 1984. – 368 p.
2. Sugano, Y. Material design for reduction of thermal stress in a functionally graded material rotating disk [Text] / Y. Sugano, R. Chiba, K. Hirose, K. Takahashi // JSME international journal. Series A. – 2004. – Vol. 47, No2. – P. 189–197.
3. Sugano, Y. Transient thermal stresses in a rectangular plate due to ariation of heat-transfer coefficients on upper and lower surfaces [Text] / Y. Sugano// Inl J. Engng Sri. – 1983. – 21, No10. – P. 1203–1214.
4. Podstrihach, Ia. S. Uchet teplootdachi pri lokalnom nahreve tonkostennykh elementov konstruktsii [Text] /Ia. S. Podstrihach, Iu. M. Koliano// Dokl. Akademii nauk SSSR. – 1975. – 225, No4. – P. 778–781.
5. Khapko, B. S. Termichnyi prohyn smuhy i priamokutnoi plastynky iz zalezhnymy vid koordynaty koefitsiientamy teploviddachi [Text] / B. S. Khapko, A. I. Chyzh // Mat. metody ta fiz. -mekh. polia. – 2009. – 52, No4. – P. 198–206.
6. Vihak, V. M. O postroenii resheniia uravneniia teploprovodnosti dlia kusochno-odnorodnoho tela [Text] / V. M. Vihak // Dokl. AN USSR. – Seriia A. – 1980. – No1. – P. 30–32.
7. Koliano, Iu. M. Ob odnom effektivnom metode resheniia zadach termoupruhosti dlia kusochno- odnorodnykh tel, nahrevaemykh vneshnei sredoi [Text] / Iu. M. Koliano, V. S. Popovich V. S. // Fiz. -khim. mekhanika materialov. – 1976. – No2. – P. 108–112.
8. Kushnir, R. M. Pro pobudovu rozviazkiv zvychainykh liniinykh dyferentsialnykh rivnian z kuskovo– stalymy koefitsiientamy [Text] / R. M. Kushnir // Dop. AN URSR. Seryia A. – 1980. – No9. – C. 54–57.
9. Protsiuk, B. V. Pobudova fundamentalnoi systemy rozviazkiv zvychainoho liniinoho dyferentsialnoho rivniannia z rozryvnymy i synhuliarnymy koefitsiientamy [Text] / B. V. Protsiuk // Mat. metody ta fiz. -mekh. polia. – 1999. – 42, No4. – P. 116–122.
10. Obraztsov, I. F. Stroitelnaia mekhanika skoshennykh tonkostennykh sistem [Text] / I. F. Obraztsov, H. H Onanov. – M. : Mashinostroenie, 1973. – 659 p.
11. Holdshtein, R. V. Otsenka vliianiia podatlivosti polozhki na napriazheniia, vyzyvaiushchie poteriu ustoichivosti otsloivshehosia pokrytiia [Text] / R. V. Holdshtein, K. B. Ustinov, A. V. Chentsov // Vychislitelnaia mekhanika sploshnykh sred. – 2011. – V. 4, No3. – P. 48–57.
12. Liukshin, P. A. Modelirovanie napriazhenno-deformirovannoho sostoianiia i poteri ustoichivosti termobarernoho pokrytiia pri teplovom udare [Text] / P. A. Liukshin, B. A. Liukshin, N. Iu. Matolyhina, S. V. Panin // Fizicheskaia mezomekhanika. – 2011. – V. 14, No1. – P. 33–41.
13. Modelirovanie otsloeniia termobarernykh pokritii pod. deistviem temperaturnykh napriazhenii [Electronic resource] / P. A. Liukshin, B. A. Liukshin, N. Iu. Matolyhina, S. V. Panin // Sovr. problemy prikl. matem. i mekh. : teoriia, eksperiment i praktika. Materialy Mezhdunar. konf., posv. 90-letiiu so dnia rozhd. akad. . N. N. Ianenko. – Novosib. : IVT SO RAN. – 2011. – Access mode: http://conf. nsc. ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/35766/47806/%28Novosibirsk_2%29. pdf.
14. Kit, H. S. Zadacha termoupruhosti dlia bimateriala s mezhfaznoi treshchinoi, bereha kotoroi kontaktiruiut na tsentralnom uchaste [Text] / H. S. Kit, R. M. Martyniak, S. P. Nahalka, Kh. I. Honchar // Teoreticheskaia i prikladnaia mekhanika. – 2002. – Iss. 36. – P. 83–90.
15. Martyniak, R. M. Modeliuvannia termopruzhnoi povedinky bimaterialu z teplopronyknoiu mizhfaznoiu trishchynoiu [Text] / R. M. Martyniak, Kh. I. Honchar // Prykl. problemy mekh. i mat. – 2005. – Iss. 3. – P. 83–88.
16. Holdshtein, R. V. Efekt chastkovoho zakryttia mizhfaznoi trishchyny z teploprovidnym zapovniuvachem i poverkhnevymy plivkamy pry dii na bimaterial termichnoho navantazhennia [Text] / R. V. Holdshtein, H. S. Kit, R. M. Martyniak, Kh. I. Serednytska // Mat. metody ta fiz. -mekh. polia. – 2012. – V. 55, No4. – C. 64–73.
17. Martyniak, R. M. Termichne rozkryttia pochatkovo zakrytoi mizhfaznoi trishchyny za neidealnoho teplovoho kontaktu berehiv [Text] /R. M. Martyniak // Fyz. –khym. mekhanyka materyalov. – 1999. –V. 35, No5. – P. 14–22.
18. Shlykov, Iu. P. Kontaktnoe termicheskoe soprotivlenie [Text] / Iu. P. Shlykov, E. A. Hanin, S. N. Tsarevskii. − M. : Enerhiia, 1977. – 328 p.
19. Podstrihach, Ia. S. Termoupruhost tonkikh obolochek [Text] / Ia. S. Podstrihach, R. N. Shvets. – K. : Nauk. dumka, 1978. – 344 p.
20. Khapko, B. S. Temperaturnye napriazheniia v priamouholnoi plastinke s raspredelennymi po proizvolnoi krivoi istochnikom tepla [Text] / B. S. Khapko // Mat. metody i fiz. -mekh. polia. – 1982. – Iss. 16. – P. 48–52.
21. Verlan, A. F. Metody resheniia intehralnykh uravnenii s prohrammami dlia EVM [Text] / A. F. Verlan, V. S. Sizikov. – K. : Nauk. dumka, 1978. – 292 p.