539.3

контактна взаємодія
пружна півплощина
зношування
штампи канонічної форми
поліноми Чебишева
contact interaction
elastic half-plane
wear
stamps canonical form
Chebyshev polynomials

Розв’язано задачі про контактну взаємодію штампів канонічної форми (циліндричної, еліптичної, гіперболічної) з пружною півплощиною з урахуванням зношування матеріалу. На основі моделі абразивного зношування побудовано інтегральне рівняння для визначення контактного тиску. Розроблено методику розв’язування інтегрального рівняння, що зводить задачу до узагальненої проблеми на власні значення. Для знаходження власних значень та векторів застосовано метод Холецького. Проведено числові розрахунки контактного тиску в різні моменти часу, проаналізовано особливості його розподілу для різних форм штампів.
The problems of contact interaction of the canonical form stamps (cylindrical, elliptical, hyperbolic) with the elastic half-plane taking into account the wastage of material, are solved. The integral equation, based on the model of abrasive wastage, is made to determine the contact pressure. Numeric methods of solving integral equations of this type are analyzed. The method of solving the integral equation is developed, that reduces the problem to a generalized problem of eigenvalues. Analytical and numerical methods of solving the generalized eigenvalue problem are analyzed and comparative analysis of them is conducted. To find the eigenvalues and vectors the method of Holetskyi and QZ-factorization is applied. The theoretical similarity of this methods and numerical change of eigenvalues with increasing the dimension of input matrix are analyzed. Software for the writing software modules with the possibility of automation process of solving a generalized eigenvalue problem and making contact pressure graphs with variable number of eigenvalue (with different number of range members for the contact pressure), are chosen. To check correctness of obtained eigenvalues, procedure of solving generalized eigenvalue problem was performed in different softwares. On the base of obtained eigenvalues, numerical calculation of contact pressure is hold. An algorithm of finding the contact area at any given moment of time for a given power of pressing the stamp is developed. For fixed moments of time contact area at a given initial force was found. The number of line members for the contact pressure is experimentally found, so that the error can be ignored. An algorithm of bringing to the one scale graphs of contact pressure in different areas of contact was developed and realized. The analysis of the features of its distribution to the various forms of stamps was hold. Graphics of the size of wastage in dimensionless quantities for a given contact area, for a given contact force, are constructed. The size of wastage for different contact areas for different stamps, are analyzed. On the base of the size of wastage the analysis of the wastage process, is hold.

1. Горячева, И. Г. Механика фрикционного взаимодействия [Текст] / И. Г. Горячева. – М. : Наука, 2001. – 478 с.
2. Кузьменко, А. Г. Развитие методов трибомеханики [Текст] / А. Г. Кузьменко. – Хмельницкий: ХНУ, 2010. –270 с.
3. Пелех, Б. Л. Контактные задачи для слоистых елементов конструкций и тел с покрытиями [Текст] / Б. Л. Пелех, А. В. Максимук, И. М. Коровайчук. – Киев: Наук. думка, 1988. – 280 с.
4. Максимук, О. В. Контактна задача про зношування пружного тіла з тонким покриттям [Текст] / О. В. Максимук // Вісник Львівського ун-ту: серія мех. -мат. – 2000. – No57. – С. 88–92.
5. Yue-Ting, Z. Explicit solution of the frictional contact problem of anisotropic materials indented by a moving stamp with a triangular or parabolic profile [Text] / Z. Yue-Ting, Y. L. Kang, H. J. Yong // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. – 2013. – Vol. 64. – P. 831–861.
6. Артемчук, В. В. Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами [Текст] / В. В. Артемчук // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2011. – No4. – С. 121–131.
7. Денисенко, М. І. Моделювання процесів абразивного зношування на основі теорії універсального явища структурного пристосування матеріалів [Текст] / М. І. Денисенко // Проблеми тертя та зношування: наук. -техн. зб. – 2010. – No. 53. – С. 26–33.
8. Popov, V. Contact Mechanics and Friction Physical Principles and Applications [Text] / V. Popov. – Springer Heidelberg Dordrecht London New York. – 2010. – 359 c.
9. Закалов, О. В. Основи тертя і зношування в машинах: навчальний посібник [Текст] / О. В. Закалов, І. О. Закалов. – Тернопіль: Видавництво ТНТУ ім. І. Пулюя, 2011. – 322 с.
10. Waleed S. Abdalla1, Soliman S. Ali-Eldin and Mohamed R. Ghazy The Influence of the Elastoplastic Behavior and the Load Pattern on the Tribological Properties of TWO-Dimensional Frictional Contact Problems [Text] // Journal of Tribology, 2014. – Vol. 136. – 10 P.
11. Голуб, Д. Матричные вычисления: пер. с англ. [Текст] / Д. Голуб, Ч. Лоун. – М. : Мир. – 1999. – 548 с.
12. Golpar-Raboky, E. WZ-factorization via Abaffy-Broyden-Spedicato algorithms [Text] / E. Golpar- Raboky // Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 2014. – Vol. 40. – P. 399–411.
13. Максимук, О. В. Контактна взаємодія штампів канонічної форми з пружним півпростором із урахуванням зношування матеріалу [Текст] / О. В. Максимук, Ю. В. Сачук // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур; за заг. ред. І. О. Луковського, Г. С. Кіта, Р. М. Кушніра, 2014. – С. 281–283.

1. Horiacheva, I. H. Mekhanika friktsionnoho vzaimodeistviia [Text] / I. H. Horiacheva. – M. : Nauka, 2001. – 478 p.
2. Kuzmenko, A. H. Razvitie metodov tribomekhaniki [Text] / A. H. Kuzmenko. – Khmelnitskii: KhNU, 2010. –270 p.
3. Pelekh, B. L. Kontaktnye zadachi dlia sloistykh elementov konstruktsii i tel s pokrytiiami [Text] / B. L. Pelekh, A. V. Maksimuk, I. M. Korovaichuk. – Kiev: Nauk. dumka, 1988. – 280 p.
4. Maksymuk, O. V. Kontaktna zadacha pro znoshuvannia pruzhnoho tila z tonkym pokryttiam [Text] / O. V. Maksymuk // Visnyk Lvivskoho un-tu: seriia mekh. -mat. – 2000. – No57. – P. 88–92.
5. Yue-Ting, Z. Explicit solution of the frictional contact problem of anisotropic materials indented by a moving stamp with a triangular or parabolic profile [Text] / Z. Yue-Ting, Y. L. Kang, H. J. Yong // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. – 2013. – Vol. 64. – P. 831–861.
6. Artemchuk, V. V. Pobudova matematychnoi modeli znosu z utochnenymy parametramy [Text] / V. V. Artemchuk // Problemy trybolohii (Problems of Tribology). – 2011. – No4. – P. 121–131.
7. Denysenko, M. I. Modeliuvannia protsesiv abrazyvnoho znoshuvannia na osnovi teorii universalnoho yavyshcha strukturnoho prystosuvannia materialiv [Text] / M. I. Denysenko // Problemy tertia ta znoshuvannia: nauk. -tekhn. zb. – 2010. – No. 53. – P. 26–33.
8. Popov, V. Contact Mechanics and Friction Physical Principles and Applications [Text] / V. Popov. – Springer Heidelberg Dordrecht London New York. – 2010. – 359 c.
9. Zakalov, O. V. Osnovy tertia i znoshuvannia v mashynakh: navchalnyi posibnyk [Text] / O. V. Zakalov, I. O. Zakalov. – Ternopil: Vydavnytstvo TNTU im. I. Puliuia, 2011. – 322 p.
10. Waleed S. Abdalla1, Soliman S. Ali-Eldin and Mohamed R. Ghazy The Influence of the Elastoplastic Behavior and the Load Pattern on the Tribological Properties of TWO-Dimensional Frictional Contact Problems [Text] // Journal of Tribology, 2014. – Vol. 136. – 10 P.
11. Holub, D. Matrichnye vychisleniia: transl. from English [Text] / D. Holub, Ch. Loun. – M. : Mir. – 1999. – 548 p.
12. Golpar-Raboky, E. WZ-factorization via Abaffy-Broyden-Spedicato algorithms [Text] / E. Golpar- Raboky // Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 2014. – Vol. 40. – P. 399–411.
13. Maksymuk, O. V. Kontaktna vzaiemodiia shtampiv kanonichnoi formy z pruzhnym pivprostorom iz urakhuvanniam znoshuvannia materialu [Text] / O. V. Maksymuk, Yu. V. Sachuk // Matematychni problemy mekhaniky neodnoridnykh struktur; by gen. ed. I. O. Lukovskoho, H. S. Kita, R. M. Kushnira, 2014. – P. 281–283.