539.3

згин
ізотропна пластина
наскрізна тріщина
жорстка шайба
комплексні потенціали
сингулярні інтегральні рівняння
коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів
banding
plate
through crack
washer
complex potentials
singular integral equations
the coefficients of the intensity of forces and moments

Досліджена задача про двосторонній згин ізотропної пластини з квадратною жорсткою шайбою та тріщиною з урахуванням ширини області контакту її берегів. З використанням методів теорії функції комплексної змінної розв’язок задачі зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь як на межі жорсткого включення, так і на тріщині, яка розв’язана числово. Проведено числовий аналіз контактного зусилля між берегами тріщини, коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів, критичного навантаження при різних значеннях параметрів задачі.
As a widely used industry lamellar structural elements, the strength of which are highly dependent on the type of defects cracks dramatically reduce the carrying capacity and operation design. As you know, these crack-like defects can occur both during the production design, and during its operation. Therefore the main task in assessing the allowable load of defect structures are effort and intensity factors moments. In this paper we solve the problem of bending of isotropic plates with tight square washer and crack based on the width contact area, where it was placed on the axis of symmetry inclusion. Through contact crack solution to the problem is presented in the form of two problems: the plane problem of elasticity and bending problem, where we use the classical theory of bending plates. We will have boundary conditions on the boundary rigid inclusion and crack. To construct the solution of the plane problem and bending problem, we introduce the complex potentials as a sum of complex potentials for inclusion and crack. Based on the known dependencies that determine the stress-strain state of the plate potentials through the complex potentials after satisfaction of the boundary conditions for cracks and for inclusion singular integral equations have been obtained. This condition should correspond uniqueness deflection and rotation angles while traversing path cracks and unambiguous movements while traversing path cracks. After bringing the unknown functions and variables to dimensionless final system of singular integral equations with unknown complex functions and constants have been obtained. The resulting system of singular integral equations by the method of mechanical quadratures was reduced to a system of linear algebraic equations. This system of equations by Gauss with a choice of main element was numerically solved, and on the basis of these data were analyzed. The numerical analysis of the contact force between the shores of crack intensity factors moments of critical load for different values of parameters of the problem has been carried out. Based on numerical analysis, the following laws were stated: the value of the contact force is larger near the top than in the distant, and at a distance from the split washers, contact forces and combined intensity factor moments go to the constant value for a single crack.

1. Звізло, І. Двовісний згин моментами на нескінченості кусково-однорідної пластини з прямолінійною тріщиною з урахуванням контакту її берегів [Текст] / І. Звізло // Вісник Львівського університету. Серія мех. -мат. – 2008. – Вип. 69. – С. 210–218.
2. Кальтгоф, Дж. Ф. Експериментальне підтвердження контакту берегів тріщини при згині пластини [Текст] / Дж. Ф. Кальтгоф, І. П. Шацький, А. Бюргель // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій. – Вип. 2: В 3-х т. ; за заг. ред. В. В. Панасюка. – Львів: Каменяр. – 1999. – Т. 1. – С. 72–74.
3. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н. И. Мусхелишвили. – М. : Наука, 1966. – 708 с.
4. Опанасович, В. К. Двосторонній згин кусково-однорідної ізотропної пластини з коловою межею поділу матеріалів та радіальною тріщиною з врахуванням контакту берегів [Текст] / В. К. Опанасович, І. С. Звізло // Зб. наук. праць: «Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій». – Львів: Каменяр. – Вип. 8. – 2009. –С. 63–78.
5. Опанасович, В. К. Двовісний згин безмежної пластини з абсолютно жорсткою шайбою та тріщиною, береги якої контактують [Текст] / В. К. Опанасович, М. С. Слободян // Вісник Львівського державного університету архітектури і сільськогосподарського будівництва. – 2007. – No8. – С. 75–87.
6. Опанасович, В. К. Двовісний згин кусково-однорідної ізотропної пластини з прямолінійною межею поділу матеріалів і з двома перпендикулярними тріщинами з врахуванням контакту берегів [Текст] / В. К. Опанасович, І. С. Звізло, І. М. Яцик // Вісник Дніпропетровського університету. – 2007. – Механіка. – Вип. 11, Том 2, No22. – С. 141–148.
7. Опанасович, В. К. Згин пластини з наскрізною тріщиною з урахуванням ширини області контакту її поверхонь [Текст] / В. К. Опанасович // Міжвузівський збірник «Наукові нотатки». – 2007. – Вип. 20(2). – С. 123–127.
8. Опанасович, В. К. Двовісний згин пластини з круговим отвором і двома радіальними тріщинами, береги яких контактують [Текст] / В. К. Опанасович, М. С. Слободян // Математичні методи та фізико- механічні поля. – 2006. – Т. 49, No3. – С. 106–119.
9. Опанасович, В. К. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та тріщиною з врахуванням контакту її берегів [Текст] / В. К. Опанасович, М. С. Слободян // Вісник Донецького університету. Серія А: Природничі науки. – 2005. – Вип. 1. – С. 85–89.
10. Опанасович, В. К. Двосторонній згин пластини з круговим отвором та тріщиною з врахуванням контакту її берегів [Текст] / В. К. Опанасович, М. С. Слободян // Вісник Донецького університету. Серія А: Природничі науки. – 2005. – Вип. 1. – С. 85–89.
11. Опанасович, В. К. Згин ізотропної пластини з еліптичним отвором та тріщиною з урахуванням ширини області контакту її берегів [Текст] / В. К. Опанасович, М. С. Слободян, В. Я. Бедрій // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 2012. – Вип. 20. – С. 274–280.
12. Панасюк, В. В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках [Текст] / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, А. П. Дацышин. – К. : Наук. думка, 1976. – 444 c.
13. Прусов, И. А. Метод сопряжения в теории плит [Текст] / И. А. Прусов. – Минск: Изд-во Беларус. ун-та, 1975. – 256 с.
14. Саврук, М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами [Текст] / М. П. Саврук. – Киев: Наук. думка., 1988. – 324 с.
15. Сулим, Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими включеннями [Текст] / Г. Т. Сулим. – Львів, 2007. – 716 с.
16. Шацький, І. П. Згин пластини, ослабленої розрізом з контактуючими берегами [Текст] / І. П. Шацький // Доповіді АН УРСР. Серія А. Фізико-математичні та технічні науки. – 1988. – No7. – С. 49–51.
17. Шацкий, И. П. Развитие модели контакта берегов трещины в изгибаемой пластине [Текст] / И. П. Шацкий // Теоретическая и прикладная механика. – 2000. – No31. – С. 91–97.
18. Яцик, І. Згин пластини Рейсснера з періодичною системою наскрізних колінеарних тріщин з урахуванням ширини області контакту їхніх берегів [Текст] / І. Яцик // Вісник Львівського університету. Сер. мех. -мат. − 2010. − Вип. 73. − С. 155–164.
19. Alan, T. Zehder. Fracture mechanics of thin, cracked plates under tension, bending and out-of-plane shear loading [Text] / Alan T. Zehder // International journal of fracture. – 1995. – Vol. 72. – P. 21–28.
20. Alwar, R. S. Three-dimensional finite element analysis of cracked thick plates in bending [Text] / R. S. Alwar // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1983. – Vol. 19. – P. 293–303.
21. Dempsey, J. P. Closure of a through crack in a plate under bending [Text] / J. P. Dempsey, I. I. Shektman, L. L. Slepyan // International Journal or Solids and Structures. – 1998. – Vol. 35. – P. 4077–4089.
22. Dirgantara, T. Stress intensity factors for cracks in thin plates [Text] / T. Dirgantara, M. H. Aliabadi // Engineering Fracture Mechanics. – 2002. – Vol. 69. – P. 1465–1486.
23. Simkins, D. C. Effective bending stiffness for plates with microcracks [Text] / D. C. Simkins, S. Li // Archive of Applies Mechanics. – 2003. – Vol. 73. – P. 282–309.
24. Slepyan, L. I. Asymptotic solutions for crack closure in an elastic plate ynder combined extension and bending [Text] / L. I. Slepyan // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 1995. – Vol. 43. – P. 1727– 1749.
25. Su R. K. L., Sun H. Y. Numerical solution of crack thin plates subjected to bending, twisting and shear loads [Text] / R. K. L. Su, H. Y. Sun // International Journal of Fracture. – 2002. – Vol. 117. – P. 323–335.
26. Young, M. Influence of crack closure on the stress intensity factor in bending plates [Text] / M. Young, C. Sun // International Journal of Fracture. – 1992. – Vol. 55. – P. 81–93.
27. Zehnder, A. T. Fracture mechanics of thin plates and shells under combined membrane, bending, and twisting loads [Text] / A. T. Zehnder // Applied Mechanics Reviews. – 2005. – Vol. 58. – P. 37–48.
28. Zucchini, A., Hui C. Y., Zehnder A. T. Crack tip stress fields for thin plates in bending, shear and twisting: A comparison of plate theory and three dimensional elasticity theory [Text]/ A. Zucchini, C. Y. Hui, A. T. Zehnder // International Journal of Fracture. – 2000. – Vol. 104. – P. 387–407.

1. Zvizlo, I. Dvovisnyi zghyn momentamy na neskinchenosti kuskovo-odnoridnoi plastyny z priamoliniinoiu trishchynoiu z urakhuvanniam kontaktu Yii berehiv [Text] / I. Zvizlo // Visnyk Lvivskoho universytetu. Seriia mekh. -mat. – 2008. – Iss. 69. – P. 210–218.
2. Kalthof, Dzh. F. Eksperymentalne pidtverdzhennia kontaktu berehiv trishchyny pry zghyni plastyny [Text] / Dzh. F. Kalthof, I. P. Shatskyi, A. Biurhel // Mekhanika ruinuvannia materialiv i mitsnist konstruktsii. – Iss. 2: V 3-kh t. ; by gen. ed. V. V. Panasiuka. – Lviv: Kameniar. – 1999. – V. 1. – P. 72–74.
3. Muskhelishvili, N. I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii upruhosti [Text] / N. I. Muskhelishvili. – M. : Nauka, 1966. – 708 p.
4. Opanasovych, V. K. Dvostoronnii zghyn kuskovo-odnoridnoi izotropnoi plastyny z kolovoiu mezheiu podilu materialiv ta radialnoiu trishchynoiu z vrakhuvanniam kontaktu berehiv [Text] / V. K. Opanasovych, I. S. Zvizlo // Zb. nauk. prats: "Mekhanika i fizyka ruinuvannia budivelnykh materialiv ta konstruktsii". – Lviv: Kameniar. – Iss. 8. – 2009. –P. 63–78.
5. Opanasovych, V. K. Dvovisnyi zghyn bezmezhnoi plastyny z absoliutno zhorstkoiu shaiboiu ta trishchynoiu, berehy yakoi kontaktuiut [Text] / V. K. Opanasovych, M. S. Slobodian // Visnyk Lvivskoho derzhavnoho universytetu arkhitektury i silskohospodarskoho budivnytstva. – 2007. – No8. – P. 75–87.
6. Opanasovych, V. K. Dvovisnyi zghyn kuskovo-odnoridnoi izotropnoi plastyny z priamoliniinoiu mezheiu podilu materialiv i z dvoma perpendykuliarnymy trishchynamy z vrakhuvanniam kontaktu berehiv [Text] / V. K. Opanasovych, I. S. Zvizlo, I. M. Yatsyk // Visnyk Dnipropetrovskoho universytetu. – 2007. – Mekhanika. – Iss. 11, Tom 2, No22. – P. 141–148.
7. Opanasovych, V. K. Zghyn plastyny z naskriznoiu trishchynoiu z urakhuvanniam shyryny oblasti kontaktu Yii poverkhon [Text] / V. K. Opanasovych // Mizhvuzivskyi zbirnyk "Naukovi notatky". – 2007. – Iss. 20(2). – P. 123–127.
8. Opanasovych, V. K. Dvovisnyi zghyn plastyny z kruhovym otvorom i dvoma radialnymy trishchynamy, berehy yakykh kontaktuiut [Text] / V. K. Opanasovych, M. S. Slobodian // Matematychni metody ta fizyko- mekhanichni polia. – 2006. – V. 49, No3. – P. 106–119.
9. Opanasovych, V. K. Dvostoronnii zghyn plastyny z kruhovym otvorom ta trishchynoiu z vrakhuvanniam kontaktu Yii berehiv [Text] / V. K. Opanasovych, M. S. Slobodian // Visnyk Donetskoho universytetu. Seriia A: Pryrodnychi nauky. – 2005. – Iss. 1. – P. 85–89.
10. Opanasovych, V. K. Dvostoronnii zghyn plastyny z kruhovym otvorom ta trishchynoiu z vrakhuvanniam kontaktu Yii berehiv [Text] / V. K. Opanasovych, M. S. Slobodian // Visnyk Donetskoho universytetu. Seriia A: Pryrodnychi nauky. – 2005. – Iss. 1. – P. 85–89.
11. Opanasovych, V. K. Zghyn izotropnoi plastyny z eliptychnym otvorom ta trishchynoiu z urakhuvanniam shyryny oblasti kontaktu Yii berehiv [Text] / V. K. Opanasovych, M. S. Slobodian, V. Ya. Bedrii // Problemy obchysliuvalnoi mekhaniky i mitsnosti konstruktsii. – 2012. – Iss. 20. – P. 274–280.
12. Panasiuk, V. V. Raspredelenie napriazhenii okolo treshchin v plastinakh i obolochkakh [Text] / V. V. Panasiuk, M. P. Savruk, A. P. Datsyshin. – K. : Nauk. dumka, 1976. – 444 c.
13. Prusov, I. A. Metod sopriazheniia v teorii plit [Text] / I. A. Prusov. – Minsk: Izd-vo Belarus. un-ta, 1975. – 256 p.
14. Savruk, M. P. Dvumernye zadachi upruhosti dlia tel s treshchinami [Text] / M. P. Savruk. – Kiev: Nauk. dumka., 1988. – 324 p.
15. Sulym, H. T. Osnovy matematychnoi teorii termopruzhnoi rivnovahy deformivnykh tverdykh til z tonkymy vkliuchenniamy [Text] / H. T. Sulym. – Lviv, 2007. – 716 p.
16. Shatskyi, I. P. Zghyn plastyny, oslablenoi rozrizom z kontaktuiuchymy berehamy [Text] / I. P. Shatskyi // Dopovidi AN URSR. Seriia A. Fizyko-matematychni ta tekhnichni nauky. – 1988. – No7. – P. 49–51.
17. Shatskii, I. P. Razvitie modeli kontakta berehov treshchiny v izhibaemoi plastine [Text] / I. P. Shatskii // Teoreticheskaia i prikladnaia mekhanika. – 2000. – No31. – P. 91–97.
18. Yatsyk, I. Zghyn plastyny Reissnera z periodychnoiu systemoiu naskriznykh kolinearnykh trishchyn z urakhuvanniam shyryny oblasti kontaktu Yikhnikh berehiv [Text] / I. Yatsyk // Visnyk Lvivskoho universytetu. Ser. mekh. -mat. − 2010. − Iss. 73. − P. 155–164.
19. Alan, T. Zehder. Fracture mechanics of thin, cracked plates under tension, bending and out-of-plane shear loading [Text] / Alan T. Zehder // International journal of fracture. – 1995. – Vol. 72. – P. 21–28.
20. Alwar, R. S. Three-dimensional finite element analysis of cracked thick plates in bending [Text] / R. S. Alwar // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1983. – Vol. 19. – P. 293–303.
21. Dempsey, J. P. Closure of a through crack in a plate under bending [Text] / J. P. Dempsey, I. I. Shektman, L. L. Slepyan // International Journal or Solids and Structures. – 1998. – Vol. 35. – P. 4077–4089.
22. Dirgantara, T. Stress intensity factors for cracks in thin plates [Text] / T. Dirgantara, M. H. Aliabadi // Engineering Fracture Mechanics. – 2002. – Vol. 69. – P. 1465–1486.
23. Simkins, D. C. Effective bending stiffness for plates with microcracks [Text] / D. C. Simkins, S. Li // Archive of Applies Mechanics. – 2003. – Vol. 73. – P. 282–309.
24. Slepyan, L. I. Asymptotic solutions for crack closure in an elastic plate ynder combined extension and bending [Text] / L. I. Slepyan // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 1995. – Vol. 43. – P. 1727– 1749.
25. Su R. K. L., Sun H. Y. Numerical solution of crack thin plates subjected to bending, twisting and shear loads [Text] / R. K. L. Su, H. Y. Sun // International Journal of Fracture. – 2002. – Vol. 117. – P. 323–335.
26. Young, M. Influence of crack closure on the stress intensity factor in bending plates [Text] / M. Young, C. Sun // International Journal of Fracture. – 1992. – Vol. 55. – P. 81–93.
27. Zehnder, A. T. Fracture mechanics of thin plates and shells under combined membrane, bending, and twisting loads [Text] / A. T. Zehnder // Applied Mechanics Reviews. – 2005. – Vol. 58. – P. 37–48.
28. Zucchini, A., Hui C. Y., Zehnder A. T. Crack tip stress fields for thin plates in bending, shear and twisting: A comparison of plate theory and three dimensional elasticity theory [Text]/ A. Zucchini, C. Y. Hui, A. T. Zehnder // International Journal of Fracture. – 2000. – Vol. 104. – P. 387–407.